2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解讲

-1-4.5.1函数的零点与方程的解学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()ABCDD[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]2．函数y＝2x－1的零点是()-2-A.12B.12，0C.0，12D．2A[由2x－1＝0得x＝12.]3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为()A．(0,1)B．(－1,0)C．(2,3)D．(1,2)D[由f(－1)＝－1130，f(0)＝－30，f(1)＝－10，f(2)＝50，f(3)＝230，得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数有________个零点．2[由Δ＝b2－4ac0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]求函数的零点【例1】(1)求函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x0的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13.所以函数g(x)的零点为0和－13.函数零点的求法1代数法：求方程fx＝0的实数根.2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.-3-1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2.[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.判断函数零点所在的区间【例2】(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋323456A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－210，f(2)＝ln3－10，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.630，f(0)＝1－3＝－20，f(1)＝2.72－4＝－1.280，f(2)＝7.39－5＝2.390，f(3)＝20.08－6＝14.080，f(1)·f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]-4-判断函数零点所在区间的三个步骤1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.2．若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3A[f(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－10，f(2)＝2－1＝10.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]函数零点的个数[探究问题]1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？提示：相等．2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．故a的范围为y＝f(x)的值域．法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．【例3】已知0a1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4[思路点拨]构造函数fx＝a|x|0a1与gx＝|logax|0a1→画出fx与gx的图象→观察图象得零点的个数B[函数y＝a|x|－|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|＝-5-|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.]1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．[解]由2x|logax|－1＝0得|logax|＝12x，作出y＝12x及y＝|logax|(0a1)的图象如图所示．由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．[解]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．思考辨析(1)f(x)＝x2的零点是0.()(2)若f(a)·f(b)0，则f(x)在[a，b]内无零点．()-6-(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．()(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)0.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)B[∵f(1)＝2－3＝－10，f(2)＝4－3＝10，∴f(1)·f(2)0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.即函数f(x)的零点为－1和2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－18，所以a的取值范围是－18，＋∞.