2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用讲义 新

-1-4.5.3函数模型的应用学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.1．常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝ax＋bxm，cx＋dx≥m2.建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：-2-1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－11≤x≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又62117，所以有营运利润的时间不超过7年．]-3-利用已知函数模型解决实际问题【例1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×12th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间？[解]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×1220h，即14＝1220h，解之，得h＝10，故原式可化简为T－24＝(88－24)×12t10，当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×12t10，即12t10＝864＝18＝123，∴t＝30.因此，需要30min，可降温到32℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：-4-P＝t＋200t25，－t＋10025≤t≤30.(t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解]设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝－t2＋20t＋8000t25，t2－140t＋400025≤t≤30.(t∈N*)①当0t25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900(元)．②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125(元)．结合①②得ymax＝1125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题【例2】牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值．[思路点拨]畜养率―→空闲率―→y与x之间的函数关系――→单调性求最值[解](1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为xm，故空闲率为1－xm，由此可得y＝kx1－xm(0xm)．(2)对原二次函数配方，得y＝－km(x2－mx)＝－kmx－m22＋km4，即当x＝m2时，y取得最大值km4.1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？[解]根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为xm，故空闲率-5-为1－xm，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝kx1－xm(0xm)．2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．[解]由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0x＋ym.因为当x＝m2时，ymax＝km4，所以0m2＋km4m，解得－2k2.又因为k0，所以0k2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题[探究问题]1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所-6-建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨]描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝1.5，b＝2.5，∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.080.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.060.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤：1根据原始数据、表格，绘出散点图.2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？[解](1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系-7-的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：7.9＝a·b70，47.25＝a·b160，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.221.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．()[答案](1)√(2)√(3)√2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()ABCD[答案]B3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()-8-A．y＝0.9576x100B．y＝(0.9576)100xC．y＝0.9576100xD．y＝1－0.0424x100A[由题意可知y＝(95.76%)x100，即y＝0.9576x100.]4．已知A