2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念讲义 新人教A版必

-1-5.2.1三角函数的概念学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3．掌握公式——并会应用.1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养.1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cosα＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝yx(x≠0)．(3)总结yx＝tanα(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαR-2-cosαRtanαx∈Rx≠kπ＋π2，k∈Z4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一1．sin(－315°)的值是()A．－22B．－12C.22D.12C[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22.]2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]3．sin253π＝________.32[sin253π＝sin8π＋π3＝sinπ3＝32.]4．角α终边与单位圆相交于点M32，12，则cosα＋sinα的值为________．3＋12[cosα＝x＝32，sinα＝y＝12，故cosα＋sinα＝3＋12.]-3-三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．【例1】(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，则sinθ＋tanθ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路点拨](1)依据余弦函数定义列方程求x→依据正弦、正切函数定义求sinθ＋tanθ(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sinα，cosα，tanα(1)310＋3010或310－3010[因为r＝x2＋9，cosθ＝xr，所以1010x＝xx2＋9.又x≠0，所以x＝±1，所以r＝10.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝310－3010.](2)[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点-4-(－1，3)，则r＝－12＋32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12，tanα＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋－32＝2，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.1．将本例(2)的条件“3x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？[解]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝25＝255，cosα＝15＝55，tanα＝21＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝－12＋－22＝5，得：sinα＝－25＝－255，cosα＝－15＝－55，tanα＝－2－1＝2.2．将本例(2)的条件“落在直线3x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sinα＋cosα.[解]因为r＝－3a2＋4a2＝5|a|，①若a0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．-5-②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)．则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.[思路点拨](1)先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C[因为点P在第四象限，所以有tanα0，cosα0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解]①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.-6-1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．－2＜a≤3[因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，所以3a－9≤0，a＋2＞0，所以－2＜a≤3.]2．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．四[角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵sinα2＝－sinα2，∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sin7π3cos－23π6＋tan－15π4cos13π3.[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.(2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4π＋π4·cos4π＋π3＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝32×32＋1×12＝54.利用诱导公式一进行化简求值的步骤1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.3．化简下列各式：-7-(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin－11π6＋cos125π·tan4π.[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sin－116π＋cos125π·tan4π＝sin－2π＋π6＋cos25π·tan0＝sinπ6＋0＝12.1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．1．思考辨析(1)sinα表示sin与α的乘积．()(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sinα＝yr，且y越大，sinα的值越大．()(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()[提示](1)错误．sinα表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sinα＝yr.但y变化时，sinα是定值．(3)正确．(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为()A．1B．－1-8-C.22D．－22B[由三角函数定义知tanα＝－11＝－1.]3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝15，则sinβ＝________.－15[设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，由题意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－15.]4．求值：(1)sin180°＋cos90°＋tan0°.(2)cos25π3＋tan－15π4.[解](1)sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0.(2)cos25π3＋tan－15π4＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.