2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式（第2课时）公式五和公式六讲

-1-第2课时公式五和公式六学习目标核心素养1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养.1．公式五(1)角π2－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．(2)公式：sinπ2－α＝cos_α，cosπ2－α＝sin_α.2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α.(2)公式：sinπ2＋α＝cos_α，cosπ2＋α＝－sin_α.思考：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sinπ2＋α＝sinπ－π2－α＝sinπ2－α＝cosα.cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα.1．下列与sinθ的值相等的是()-2-A．sin(π＋θ)B．sinπ2－θC．cosπ2－θD．cosπ2＋θC[sin(π＋θ)＝－sinθ；sinπ2－θ＝cosθ；cosπ2－θ＝sinθ；cosπ2＋θ＝－sinθ.]2．已知sin19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.m[cos(－70°5′)＝cos70°5′＝cos(90°－19°55′)＝sin19°55′＝m.]3．计算：sin211°＋sin279°＝________.1[因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]4．化简sin3π2＋α＝________.－cosα[sin3π2＋α＝sinπ＋π2＋α＝－sinπ2＋α＝－cosα.]利用诱导公式化简求值【例1】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2(2)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值为________．[思路点拨](1)239°＝180°＋59°149°＝180°－31°59°＋31°＝90°→选择公式化简求值(2)π3－α＋π6＋α＝π2→选择公式化简求值-3-(1)B(2)12[(1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.]1．将例1(2)的条件中的“π3－α”改为“π3＋α”，求cos5π6＋α的值．[解]cos5π6＋α＝cosπ2＋π3＋α＝－sinπ3＋α＝－12.2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin7π6＋α的值．[解]因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角，所以cosπ3－α＝－32，所以sin7π6＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝32.解决化简求值问题的策略：1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.提醒：常见的互余关系有：π3－α与π6＋α，π4＋α与π4－α等；常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.利用诱导公式证明恒等式-4-【例2】(1)求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ.(2)求证：cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θcos3π2＋θsin3π2＋θ＝－tanθ.[证明](1)右边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立．(2)左边＝cosθsin－θtan－θcosπ2＋θsinπ2＋θ＝cosθsinθtanθ－sinθcosθ＝－tanθ＝右边，所以原等式成立．三角恒等式的证明的策略1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.1．求证：cos5π2＋xsinx－5π2tan6π－x＝－1.-5-[证明]因为cos5π2＋xsinx－5π2tan6π－x＝cos2π＋π2＋xsinx－π2－2πtan－x＝cosπ2＋x－sinx－π2tanx＝－sinxcosxtanx＝－1＝右边，所以原等式成立．诱导公式的综合应用[探究问题]1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？提示：“奇变偶不变、符号看象限”．【例3】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．[思路点拨]解方程并根据sinα的取值范围确定sinα的值→由同角三角函数关系式求cosα，tanα→用诱导公式化简→求值[解]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，因为－1≤sinα≤1，所以sinα＝－35.又α是第三象限角，所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝34，-6-所以sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝sinπ2－αcosπ2＋αsinαcosα·tan2α＝cosα－sinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α＝－916.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.2．已知sin－π2－α·cos－5π2－α＝60169，且π4＜α＜π2，求sinα与cosα的值．[解]sin－π2－α＝－cosα，cos－5π2－α＝cos2π＋π2＋α＝－sinα，∴sinα·cosα＝60169，即2sinα·cosα＝120169.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝289169，②－①得(sinα－cosα)2＝49169.又∵α∈π4，π2，∴sinα＞cosα＞0，即sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0，-7-∴sinα＋cosα＝1713，③sinα－cosα＝713，④(③＋④)÷2得sinα＝1213，(③－④)÷2得cosα＝513.1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角π2－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．2．由于π2＋α＝π－π2－α，因此由公式四及公式五可以得到公式六．3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．1．思考辨析(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．()(2)在△ABC中，sinA＋B2＝cosC2.()(3)sinπ2＋α＝sinπ2－－α＝cos(－α)＝cosα.()[提示](1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．(2)正确．因为A＋B2＋C2＝π2，由公式五可知sinA＋B2＝cosC2.(3)正确．[答案](1)×(2)√(3)√2．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三角限角D．第四象限角B[由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]3．已知cosα＝15，且α为第四象限角，那么cosα＋π2＝________.-8-265[因为cosα＝15，且α为第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－265，所以cosα＋π2＝－sinα＝265.]4．化简：sinπ2－αcosπ2＋αcosπ＋α－sin2π－αcosπ2－αsinπ－α.[解]原式＝cosα－sinα－cosα－sin－αsinαsinα＝sinα－(－sinα)＝2sinα.