2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课

-1-第2课时单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养.解析式y＝sinxy＝cosx图象值域[－1,1][－1,1]单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上单调递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减最值x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1思考：y＝sinx和y＝cosx在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝π2，n＝π.-2-1．函数y＝－cosx在区间－π2，π2上是()A．增函数B．减函数C．先减后增函数D．先增后减函数C[因为y＝cosx在区间－π2，π2上先增后减，所以y＝－cosx在区间－π2，π2上先减后增．]2．函数y＝sinxπ4≤x≤5π6的值域为________．12，1[因为π4≤x≤5π6，所以12≤sinx≤1，即所求的值域为12，1.]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的取值集合为________．xx＝2kπ－π2，k∈Z[当sinx＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－π2，k∈Z.]4．若cosx＝m－1有意义，则m的取值范围是________．[0,2][因为－1≤cosx≤1，要使cosx＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1，求函数f(x)的单调递增区间．[思路点拨](1)确定a的范围→y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数→y＝cosx在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝π4＋2x→y＝2sinu的单调递增区间．(1)(－π，0][(1)因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．](2)[解]令u＝π4＋2x，函数y＝2sinu的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ，k∈Z，-3-得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1的单调递增区间是－3π8＋kπ，π8＋kπ，k∈Z.1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A0，ω0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0，ω0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cosπ3－2x，则它的单调减区间为________．(1)－π3，－2π9，π9，π3(2)kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)[(1)由π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π9＋2kπ3≤x≤4π9＋2kπ3(k∈Z)．又x∈－π3，π3，所以函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为－π3，－2π9，π9，π3.(2)y＝cosπ3－2x＝cos2x－π3，由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，∴单调递减区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．]利用三角函数的单调性比较大小-4-【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin－π18与sin－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos－235π与cos－174π.[思路点拨]用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[解](1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin－π18＞sin－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°，从而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)cos－235π＝cos235π＝cos4π＋35π＝cos35π，cos－174π＝cos174π＝cos4π＋π4＝cosπ4.∵0＜π4＜35π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos35π＜cosπ4，即cos－235π＜cos－174π.三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到－π2，π2或π2，3π2内；-5-对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A．sinα＜sinβB．cosα＜sinβC．cosα＜cosβD．cosα＞cosβ(2)比较下列各组数的大小：①cos15π8，cos14π9；②cos1，sin1.(1)B[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈0，π2，π2－β∈0，π2，所以cosα＜cosπ2－β＝sinβ.](2)[解]①cos15π8＝cosπ8，cos14π9＝cos4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以cosπ8＞cos4π9，即cos15π8＞cos14π9.②因为cos1＝sinπ2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y＝sinx在0，π2上单调递增，所以sinπ2－1＜sin1，即cos1＜sin1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y＝sinx＋π4在x∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x∈[0，π]，所以x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为-6-－22.2．函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？提示：不是．因为A0时最大值为A＋b，若A0时最大值应为－A＋b.【例3】(1)函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin2x－π3＋b(a＞0)．当x∈0，π2时，f(x)的最大值为3，最小值是－2，求a和b的值．[思路点拨](1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sinx看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈0，π2求2x－π3的取值范围，再求sin2x－π3的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．(1)[－4,0][y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．](2)[解]∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3，∴－32≤sin2x－π3≤1，∴f(x)max＝a＋b＝3，f(x)min＝－32a＋b＝－2.由a＋b＝3，－32a＋b＝－2，得a＝2，b＝－2＋3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．[解]因为y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2，所以当sinx＝－1时，ymin＝－4，此时x的取值集合为xx＝2kπ－π2，k∈Z.-7-2．将本例(1)中函数改为y＝cos2x＋sinx，x∈R结果又如何？[解]y＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－sinx－122＋54.因为－1≤sinx≤1，所以－1≤y≤54，所以函数y＝cos2x＋sinx，x∈R的值域为－1，54.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：1y＝asin2x＋bsinx＋ca≠0，利用换元思想设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.1．思考辨析(1)y＝sinx在(0，π)上是增函数．()(2)cos1＞cos2＞cos3.()(3)函数y＝－12sinx，x∈0，π2的最大值为0.()[提示](1)错误．y＝sinx在0，π2上是增函数，在π2，π上是减函数．(2)正确．y＝cosx在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos1＞cos2＞cos3.(3)正确．函数y＝－12sinx在x∈0，π2上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.[答案](1)×(2)√(3)√2．y＝2cosx2的值域是()A．[－2,2]B．[0,2]-8-C．[－2,0]D．RA[因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cosx2∈[－2,2]．]3．sin2π7________sin－15π8(填“＞”或“＜”)．＞[sin－15π8＝sin－2π＋π8＝sinπ8，因为0＜π8＜2π7＜π2，y＝sinx在0，π2上是增函数，所以sinπ8＜sin2π7，即sin2π7＞sin－15π8.]4．函数y＝1－sin2x的单调递增区间．[解]求函数y＝1－sin2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin2x的单调递减区间，由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．