2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

-1-第3课时两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠－11．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．1C.12D．4C[∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴21－tanαtanβ＝4，解得tanαtanβ＝12.]2．求值：tan11π12＝________.－2＋3[tan11π12＝－tanπ12＝－tanπ4－π6-2-＝－tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝－1－331＋33＝－2＋3.]3．已知tanα＝2，则tanα＋π4＝________.－3[tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.]4.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝________.3[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.]两角和与差的正切公式的正用【例1】(1)已知α，β均为锐角，tanα＝12，tanβ＝13，则α＋β＝________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[思路点拨](1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)π4(2)17[(1)∵tanα＝12，tanβ＝13，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋131－12×13＝1.∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝BDAD＝13，-3-tan∠CAD＝CDAD＝12，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝tan∠CAD－tan∠BAD1＋tan∠CADtan∠BAD＝12－131＋12×13＝17.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．1．(1)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝35，tan(α－β)＝－13，则tanβ＝________.(1)32(2)3[(1)因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cosα＝35，α为锐角，所以sinα＝45，tanα＝43，-4-所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝43－－131＋43×－13＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)1＋tan15°1－tan15°＝________.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝________.[思路点拨]注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)3(2)－1[(1)原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.(2)原式＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.要特别注意tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα，tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则()A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A[∵sin2α＝2sin2β，-5-∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα、tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－ba1－ca＝－ba－c.【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．[思路点拨](1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1[∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解]∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，-6-∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，∴tan(A＋B)＝－33.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6.∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tanB＋33＋tanB＝3，tanB＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰钝角三角形．1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝tan68°－tan23°1＋tan68°tan23°，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β；(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取-7-kπ＋π2(k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．2．注意公式的变形应用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，1＋tanαtanβ＝tanα－tanβtanα－β等.1．思考辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()(3)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()[提示](1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan0＋tanπ3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．[答案](1)√(2)×(3)√2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，则tanα＝()A.17B．－17C．1D．－1A[tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝－2＋31－－2×3＝17.]3．若tanπ3－α＝3，则tanα的值为________．6－5313[tanα＝tanπ3－π3－α-8-＝tanπ3－tanπ3－α1＋tanπ3tanπ3－α＝3－31＋3×3＝3－333－1332－1＝12－10326＝6－5313.]4．已知cosα＝55，cosβ＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．[解]因为α，β都是锐角，所以sinα＝1－cos2α＝255，sinβ＝1－cos2β＝45，tanα＝sinαcosα＝2，tanβ＝sinβcosβ＝43，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2.