2019-2020学年高中数学 第1章 数列 2.2 等差数列的前n项和教案 北师大版必修5

-1-2.2等差数列的前n项和学习目标核心素养1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)1.通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养．2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养.等差数列的前n项和公式阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题：(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝na1＋an2Sn＝na1＋nn－12d(2)等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②由①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)n个＝n(a1＋an)，由此得等差数列前n项和公式Sn＝na1＋an2，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得Sn＝na1＋nn－12d.-2-(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d整理成关于n的函数可得Sn＝d2n2＋a1－d2n.思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？[提示]不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0.(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？[提示]求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝()A．－20B．－40C．－60D．－80D[由公式Sn＝na1＋nn－12×d得S10＝10×1＋10×92×(－2)＝－80.]2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝________.nn＋12[由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n.由前n项和公式得Sn＝nn＋12.]3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.85[S17＝12×17×(2＋8)＝85.]4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.2[S8＝8×1＋12×8×7×d＝64，解得d＝2.]与Sn有关的基本量的运算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a3＝16，S20＝20.求S10；(2)已知a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及a12；(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则有a1＋2d＝16，20a1＋2020－12d＝20，解得a1＝20，d＝－2.所以S10-3-＝10×20＋10×9×－22＝200－90＝110.(2)因为Sn＝n·32＋nn－12·－12＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.又因为Sn＝a1＋ann2＝210，所以n＝2×210a1＋an＝14.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n(a1＋an)2结合使用．1．等差数列中：(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝8，求S20；(3)d＝13，n＝37，Sn＝629，求a1及an.[解](1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，∴Sn＝na1＋an2＝128×105＋9942＝70336.(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝8，∴S20＝20a1＋20×20－12×8＝20×10＋10×19×8＝1720.-4-(3)将d＝13，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，得an＝a1＋12，37·a1＋an2＝629，解得a1＝11，an＝23.等差数列前n项和公式在实际中的应用【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？[解]从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．应用等差数列解决实际问题的一般思路2．(1)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．-5-(2)为了参加5000m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m，李强10天一共跑了多少m?(1)7[设n分钟后相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．](2)[解]将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5000m，公差d＝400m.所以S10＝10a1＋10×10－12d，＝10×5000＋45×400＝68000(m)，故李强10天一共跑了68000m.等差数列前n项和的性质【例3】(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________.(1)C(2)53[(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.(2)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.]巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质．-6-若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质．Sn＝na1＋an2＝nam＋an－m＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝an＋1an.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶S奇＝nn＋1.(4)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．(5)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.3．(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()A．9B．12C．16D．17(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．(1)A(2)75[(1)由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列Snn的前10项和为3×10＋10×92×1＝75.]等差数列前n项和的最值-7-[探究问题]1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．[提示](1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4.(2)Sn＝n2－3n＝n－322－94，因为n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2.2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．[提示](1)前5项的和S5最大．(2)因为a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6.3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？[提示]S10＝12×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，因为d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．【例4】在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．[解](1)由题意得a1＋9d＝18，5a1＋5×42×d＝－15，得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.(2)法一：Sn＝na1＋an2＝12(3n2－21n)＝32n－722－1478，∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.法二：设Sn最小，则an≤0，an＋1≥0，即3n－12≤0，3n＋1－12≥0，解得3≤n≤4，-8-又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18.1．(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．[解]S5＝12×5×(a1＋a5)＝12×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n.设Sn最大，则an≥0，an＋1≤0，解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.2．(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n.[解]法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，