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-1-4.3简单线性规划的应用学习目标核心素养1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识．3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．(难点)1.通过解决简单线性划的应用题，提升数学建模素养．2．通过求解实际问题的最优解，培养数学运算素养.简单线性规划的实际应用阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．(1)简单线性规划应用问题的求解步骤：①设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．②作：作出可行域．③移：作一条直线l，平移l，找最优解．④解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．⑤答：写出答案．总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．(2)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．思考：(1)线性规划的实际应用问题中，整点最优解是唯一的吗？[提示]不是唯一的，可能有多个整点最优解．(2)解决线性规划实际应用问题最关键的是什么？[提示]最关键的是认真审题，列出约束条件，写出目标函数．1．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元．设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，则x，y满足的约束条件为()-2-A．4x＋5y≥226x＋3y≤24B．4x＋5y226x＋3y24C．4x＋5y226x＋3y≤24，D．4x＋5y226x＋3y24[答案]A2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．设生产A产品x件，生产B产品y件，列出满足生产条件的约束条件为________．3x＋y≤11x＋3y≤9x∈N*，y∈N*[由题意知3x＋y≤11x＋3y≤9x∈N*，y∈N*]3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，x∈N*，y∈N*，则z＝10x＋10y的最大值是___________________．90[该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与112，92最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.]与最大值有关的实际问题【例1】某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表-3-电于琴(架)洗衣机(台)月供应量成本(百元)3020300劳动力510110单位利润(百元)68/试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？[解]设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，有x≥0，y≥0，30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，且z＝6x＋8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．令z＝0，作直线l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.当移动直线l0平移至过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．解方程组30x＋20y＝300，5x＋10y＝110，得A(4,9)，代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．-4-1．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg，问饲料怎样混合才使成本最低．[解]设每周需用谷物饲料xkg，动物饲料ykg，每周总的饲料费用为z元，由题意得x＋y≥35000，y≥15x，0≤x≤50000，y≥0，而z＝0.28x＋0.9y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35000和直线y＝15x的交点A875003，175003，即x＝875003，y＝175003时，饲料费用最低．所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．求最小值的实际应用【例2】某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？[解]设需A型车x辆，B型车y辆，则y－x≤7，x＋y≤21，36x＋60y≥900，x，y∈N＋⇒y－x≤7，x＋y≤21，3x＋5y≥75，x，y∈N＋由目标函数z＝1600x＋2400y，得y＝－23x＋z2400，z2400表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画出可行域(如图)，-5-平移直线l：y＝－23x到l0过点A(5,12)时，zmin＝5×1600＋2400×12＝36800.故租金最少为36800元．解答线性规划应用题的技巧(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．[解]设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得2x＋y≥5，x＋2y≥4，x≥0，y≥0，所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．-6-平移直线l0：3x＋2y＝0，经过可行域内的直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)z最小，∴最优解为x＝2，y＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．整数最优解问题[探究问题]1．采取什么方法能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？[提示]通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．2．怎样求线性规划中的最优整数解问题？[提示]先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值、最后筛选出最优解．【例3】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元．问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低？思路探究：弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解．[解]设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，x≤4，x∈N*，y≤7，y∈N*，目标函数z＝252x＋160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(2,5)时，满足上述要求．此时，z＝252x＋160y取得最小值，即x＝2，y＝5时，zmin＝252×2＋160×5＝1304(元)．即每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低．-7-1．(变结论)例3的条件不变，问每天派出甲型车与乙型车各多少辆时，车队所花费成本最高？[解]由例3的解答，作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向上方平移，使其经过可行域上的整点，且在y轴上的截距最大，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(4,5)时，满足上述要求，此时，z＝252x＋160y取得最大值，即x＝4，y＝5时，zmax＝252×4＋160×5＝1808(元)，即每天派出甲型车4辆，乙型车5辆，车队所用成本费最高．2．(变条件)把例3的条件换为下表所示：数量(单位：辆)载重量(单位：t)每天可往返次数每辆每天的成本费(单位：元)甲型卡车864320乙型卡车4103504现有10名驾驶员，车队每天至少要运送180t矿石至冶炼厂．试确定每天派出甲型卡车与乙型卡车的数量，使车队所花费的成本费最低．[解]设矿山车队每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，每天花费的成本是z元，则z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件0≤x≤8，0≤y≤4，x＋y≤10，24x＋30y≥180，x，y∈N，作可行域如图(阴影内的整点)所示．作直线l0：320x＋504y＝0.在可行域内的整点中，直线经过(8,0)时，zmin＝8×320＝2560(元)．所以每天派出甲型卡车8辆就能完成任务，且花费成本最低．-8-寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范．2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．()(2)线性目标函数的最优整数解不唯一．()(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．()[答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)(2)正确，(3)错误，二者不一定距离最近，要根据具体的题目条件确定．2．有5辆6t的汽车，4辆4t的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5yA[由题意可知z＝6x＋4y为目标函数