2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北师大版必修5

-1-1.2余弦定理学习目标核心素养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C推论cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示]余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？[提示]①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c那么c＝a－b．|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)-2-＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2abcosC所以c2＝a2＋b2－2abcos_C．同理可证：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，1．在△ABC中，符合余弦定理的是()A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosAD．cosC＝a2＋b2＋c22abA[由余弦定理知选A．]2．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3，c＝5，则cosA＝_____________.53[cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋5－42×3×5＝53.]3．在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝1，则a＝________.3[a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a＝3.]已知两边及一角解三角形【例1】(1)已知△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，则c＝________.(2)在△ABC中，已知a＝33，c＝2，B＝150°，则边b的长为________．(1)5(2)7[(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍去)．(2)在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝(33)2＋22－2×33×2×－32＝49.所以b＝7.]-3-(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[提醒]解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.(2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c．(1)19[由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝19.](2)[解]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，所以49＝64－2bc1－12，即bc＝15，由b＋c＝8，bc＝15，解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】(1)在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C．(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a，求cosA．-4-[解](1)由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x.由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32，故A＝30°.同理可求得cosB＝12，cosC＝0，所以B＝60°，C＝90°.(2)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝32a．所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．(1)C[由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc．根据余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.故选C．](2)[解]由余弦定理的推论得：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：-5-x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断[探究问题]1．在△ABC中，sinA＝sinB，能够判定△ABC为等腰三角形吗？[提示]能．由正弦定理和sinA＝sinB知a＝b，故△ABC是等腰三角形．2．在△ABC中，sin2A＝sin2B，能够判定△ABC为等腰三角形吗？[提示]不能．由sin2A＝sin2B得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC中，acosA＝bcosB，要判定三角形的形状，是把acosA＝bcosB中的边化为角，还是把角化为边？[提示]都可以，化角为边：由余弦定理得a×b2＋c2－a22bc＝b×a2＋c2－b22ac，化简得(a＋b)(a－b)(c2－a2－b2)＝0，故a＝b或c2＝a2＋b2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，则A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？[提示]思路一：从角的关系判定．思路二：从边的关系判定．思路三：从边与角的关系判定．【例3】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．[解]法一：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．-6-又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC为等边三角形．法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°＜C＜180°，所以C＝60°.所以△ABC为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b＝2ccosA，c＝2bcosA，判断△ABC的形状．[解]法一：由条件b＝2ccosA，c＝2bcosA得cosA＝b2c＝c2b，即b＝c，把b＝c代入b＝2ccosA得cosA＝12，所以A＝60°，所以△ABC是等边三角形．法二：由正弦定理知sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝sinAcosC，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形△ABC为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos2A2＝b＋c2c，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵cos2A2＝1＋cosA2且cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，即cosA＝bc.由正弦定理，得cosA＝sinBsinC，∴cosAsinC＝sin(A＋C)，整理得sinAcosC＝0.∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝π2.故△ABC为直角三角形．法二：同法一得cosA＝bc.由余弦定理得b2＋c2－a22bc＝bc，整理得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．-7-判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．()(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶3∶2，可以解三角形．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bccosA求c，进而可求角B和C．(2)错误，由b2＋c2＞a2和cosA＝b2＋c2－a22bc可得cosA＞0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC的三边满足a∶b∶c＝2∶2∶3，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形-8-A[设a＝2k，b＝2k，c＝3k，则cosA＝b2＋c2－a22bc＝2k2＋3k2－4k22×2k×3k＝126＞0，故A是锐角，且A＞B＞C，所以△ABC是锐角三角形．]3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝________.π3[由b2＋a2＝c2＋ab得b2＋a2－c22ab＝12，即cosC＝12，又C∈(0，π)，故C＝π3.]4．已知△ABC的边长满足等式a2－b－c2bc＝1时，求A．[解]由a2－b－c2bc＝1，得b2＋c2－a2＝bc，所以co