2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形 2 三角形中的几何计算教案 北师大版必修5

-1-§2三角形中的几何计算学习目标核心素养1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点)2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题．(重点)3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用．(难点)4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力.1.通过三角形中的几何计算培养数学运算素养．2．通过三角形中的几何计算培养逻辑推理素养.三角形中的几何计算阅读教材P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题．(2)在△ABC中，有以下常用结论：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b；②a＞b⇔A＞B⇔sin_A＞sin_B；③A＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2；④sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？[提示]π3≤A＜π.(2)在△ABC中，若A＝π3，则角B的取值范围是什么？[提示]0＜B＜2π3.1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，则△ABC外接圆的半径为()A．4B．2-2-C．23D．3B[由正弦定理得2R＝asinA＝212＝4，故R＝2.]2．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B．212C．28D．63D[由余弦定理可得cosA＝12，A＝60°，所以S△ABC＝12bcsinA＝63.]3．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则()A．A＝30°B．A＝60°C．A＝30°或150°D．A＝60°或120°D[由S△ABC＝12bcsinA＝32，得3sinA＝32，sinA＝32，由0°A180°，知A＝60°或A＝120°.]4．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．45°[因为a2＝b2＋c2－2bccosA，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝12bccosA＝12bcsinA，从而sinA＝cosA，tanA＝1，A＝45°.]计算线段的长度和角度【例1】在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6.(1)求∠ADC的大小；(2)求AB的长．[解](1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°.-3-(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10·sin60°sin30°＝10×3212＝103.求线段的长度与角度的方法(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用A＋B＋C＝π求解．1．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．[解]在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.在△BCD中，由正弦定理知BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.三角形中与面积有关的问题-4-【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解](1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.三角形面积公式的应用(1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求．(2)在解决三角形问题时，面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．2．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．若a＝13，且△ABC的面积为33，求b＋c的值．-5-[解]cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又A为三角形内角，所以A＝π3.由面积公式得：12bcsinπ3＝33，即bc＝12.因为a＝13，由余弦定理得：b2＋c2－2bccosπ3＝13，即b2＋c2－bc＝13，则b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用[探究问题]1．在△ABC中有哪些常用的结论？(三条即可)[提示](1)sin(A＋B)＝sinC；(2)sinA＋B2＝cosC2；(3)cos(A＋B)＝－cosC．2．在△ABC中，如何用sinA，cosA，sinB，cosB表示sinC?[提示]sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB．【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB．[解](1)证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k＞0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC．所以sinAsinB＝sinC．(2)由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有-6-cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB．故tanB＝sinBcosB＝4.1．(变结论)在例3中，若a＝2，求△ABC的面积．[解]由例3(2)解答可知45sinB＝45cosB＋35sinB，即cosB＝14sinB，又sin2B＋cos2B＝1，解得sinB＝41717，由正弦定理得b＝asinBsinA＝101717，则S△ABC＝12absinC＝12absinAsinB＝12×2×101717×45×41717＝3217.2．(变条件)把例3的条件变为“cos2C－cos2A＝2sinπ3＋C·sinπ3－C”，(1)求角A的值；(2)若a＝3且b≥a，求2b－c的取值范围．[解](1)由已知得2sin2A－2sin2C＝234cos2C－14sin2C，化简得sinA＝±32，因为A为△ABC的内角，所以sinA＝32，故A＝π3或2π3.(2)因为b≥a，所以A＝π3.由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin2π3－B＝3sinB－3cosB＝23sinB－π6.-7-因为b≥a，所以π3≤B＜2π3，则π6≤B－π6＜π2，所以2b－c＝23sinB－π6∈[3，23)．正、余弦定理综合应用技巧(1)理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；(2)紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明．1．正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决．2．三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般要用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝abc4R.()(2)存在△ABC，使sinA＋sinB＜sinC．()(3)在△ABC中，cosC＝2sin2A＋B2－1.()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)，(3)正确，(2)错误．因为a＋b＞c，由正弦定理可得sinA＋sinB＞sinC．2．在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列结论：①a∶b∶c＝4∶5∶6；②a∶b∶c＝2∶5∶6；③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm；④A∶B∶C＝4∶5∶6.其中成立的个数是()-8-A．0个B．1个C．2个D．3个C[由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．]3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A．922B．924C．928D．92C[设a＝2，b＝3，cosC＝13，则c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×13＝9，即c＝3，又由cosC＝13得sinC＝223，则2R＝CsinC＝922＝924，R＝928.]4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．[解]在△ABC中，由余弦定理，有cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝22＋232－222×2×23＝32，则C＝30°.在△ACD中，由正弦定理，有ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝AC·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD的长度等于2.