2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用教案 北师大版必修5

-1-2.2一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)1.通过学习分式不等式与高次不等式培养数学运算素养．2．通过一元二次不等式的实际应用提升数学建模素养.1．分式不等式的解法阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题．(1)fxgx＞0与f(x)·g(x)＞0同解．(2)fxgx＜0与f(x)·g(x)＜0同解．(3)fxgx≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．(4)fxgx≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．思考：(1)不等式fxgx≥0与f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0同解吗？[提示]同解．(2)解分式不等式的主导思想是什么？[提示]化分式不等式为整式不等式．2．高次不等式的解法阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题．如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？[提示]可以(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)＞0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？[提示]把f(x)最高次项的系数化为正数．1．不等式4x＋23x－10的解集是()-2-A．xx13或x－12B．x－12x13C．xx13D．xx－12A[4x＋23x－10⇔(4x＋2)(3x－1)0⇔x13或x－12，此不等式的解集为xx13或x－12.]2．函数f(x)＝x－1x的定义域是________．(－∞，0)∪[1，＋∞)[由题意得x－1x≥0，即x(x－1)≥0且x≠0，解之得x≥1或x＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]3．不等式(x－1)(x＋2)(x－3)＜0的解集为________．(－∞，－2)∪(1,3)[如图所示：由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．]4．不等式x＋1x＋22x＋3x＋4＞0的解集为_________________．{x|－4＜x＜－3或x＞－1}[原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.]分式不等式和高次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x＋43－x＜0；(2)x＋1x－2≤2；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.[解](1)由x＋43－x＜0，得x＋4x－3＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．(2)法一：移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简有－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，同解不等式为x－2x－5≥0，x－2≠0，∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．法二：原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于-3-x－5≥0，x－2＞0①或x－5≤0，x－2＜0，②解①得x≥5，解②得x＜2，∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，进一步化为x－32x－43x－12(x－2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为xx＜12或43＜x＜32或x＞2.1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型fxgx＞0(0)或fxgx≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．2．一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)x＋12x－3≥1；(2)x4－2x3－3x2＜0.[解](1)移项得x＋12x－3－1≥0，即4－x2x－3≥0，同解不等式为4－x2x－3≥02x－3≠0，∴32＜x≤4，故原不等式的解集为32，4.(2)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3；-4-当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．一元二次不等式在生活中的应用【例2】某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解](1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至kx－0.4＋a，电力部门的收益为y＝kx－0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有0.2ax－0.4＋ax－0.3≥[a0.8－0.3]1＋20%，0.55≤x≤0.75，整理，得x2－1.1x＋0.3≥0，0.55≤x≤0.75，解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.解不等式应用题的步骤2．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对-5-该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]设花卉带宽度为xm，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x0，所以0x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．不等式的恒成立问题[探究问题]1．设f(x)＝mx2＋2x＋1，若f(x)＞0对任意的x∈R恒成立，f(x)的图像如何？求m的范围．[提示]由条件知m＞0，即f(x)的图像开口向上，且和x轴没有交点，故m＞0Δ＝4－4m＜0，解之得m＞1.2．设f(x)的值域是[1,2]，若f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．[提示]a≤13．设x∈[3,4]，若存在x∈[3,4]，使x≥a，求a的取值范围．[提示]a≤4【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)对于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．思路探究：(1)讨论m的符号，结合函数f(x)的图像求解．(2)求f(x)的最大值，使其最大值小于－m＋5；或分离参数m后，转化为求函数的最值问题．[解](1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0，满足题意；若m≠0，m＜0，Δ＝m2＋4m＜0⇒－4＜m＜0.∴－4＜m≤0.(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．就要使mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．-6-令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，∴0＜m＜67；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，∴m＜0.综上所述：m＜67.法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．∵x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜6x2－x＋1.∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m＜67即可．1．(变条件)把例3中的函数换为：f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)，若f(x)＞0对任意的x∈R都成立，求实数a的取值范围．[解]由题意可知，f(x)的图像开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.2．(变结论)例3的条件不变，若存在x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解]不等式f(x)＜－m＋5可化为mx2－mx－1＜－m＋5，即m(x2－x＋1)＜6，由于x2－x＋1＝x－122＋34＞0，故原不等式等价于m＜6x2－x＋1.当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故6x2－x＋1∈67，6，由题意可知m＜6.有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．-7-(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．1．解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式3x＋5x＋1＞2与3x＋5＞2(x＋1)同解．()(2)x－1x＋2≤0与(x－1)(x＋2)≤0同解．()(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为(2,3)．()[答案](1)×(2)×(2)×[提示](1)错误，不等式3x＋5x＋1＞2与x＋3x＋1＞0同解；(2)错误，x－1x＋2≤0与(x－1)(x＋2)≤0且x＋2≠0同解；(3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0的解集为(3，＋∞)．2．对任意的x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．[－2,2]D．(－∞，2]∪[2，＋∞)A[由题意可知Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.]3．不等式2x－1x＋3≤－2的解集为________．－54，－3[原不等式可化为4x＋5x＋3≤0，故(4x＋5)(x＋3)≤0且x≠－3，故解集为-8-－54，－3.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解]设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.所以为