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-1-1.1.1角的概念的推广学习目标核心素养1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)2．理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(难点)1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养.1．角的概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．2．角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边．(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，-2-如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．1．钟表的分针在一个半小时内转了()A．180°B．－180°C．540°D．－540°D[钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.]3．下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)①②③④[由象限角定义可知①②③④都不正确．]任意角的概念【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝CB．A⊆CC．A∩C＝BD．B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′[思路探究]利用角的概念进行判断．(1)D(2)B[(1)第一象限角可表示为k·360°αk·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°β90°；小于90°的角可表示为γ90°；由三者之间的关系可知，选D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.]-3-1．判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．1．有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．其中正确说法的序号是________．③[①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]象限角与区域角的表示【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()A．{α|k·360°＋30°αk·360°＋45°，k∈Z}B．{α|k·180°＋150°αk·180°＋225°，k∈Z}C．{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}D．{α|k·360°＋30°αk·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．[思路探究]找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k·360°k∈Z-4-又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x8个位置上的角(如图(2))，因而MN，故正确答案为C.]3．若角α与角β终边相同，则α－β＝________.k·360°(k∈Z)[根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z)．]4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°.[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．