2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）章末复习课教案（含解析）新人教B版必修4

-1-第1章基本初等函数（Ⅱ）(教师用书独具)三角函数的定义掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．[思路探究]先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解．xπ3＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z[要使函数有意义，必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12，-2-解得π6＋2kπx56π＋2kπ，π3＋2kπ≤x≤53π＋2kπ，(k∈Z)∴π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为xπ3＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z.]1．已知角α的终边经过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，则sinα＝________，tanα＝________.－45－43[∵θ∈π2，π，∴cosθ0，∴r＝x2＋y2＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cosθ.故sinα＝yr＝－45，tanα＝yx＝－43.]诱导公式诱导公式是解决三角函数关系式化简、求值、证明的前提和基础．解答此类问题时常用到分类讨论思想、函数与方程的思想，主要体现在三角函数的定义、化简、求值等知识上．【例2】化简下列各式：(1)sin3π＋αcos－αcosπ－αtan3π＋αcos3－α－π＋cosα＋3πsin2α＋3πcos23π2＋αtanα＋5πtanπ＋αcos3π＋α；(2)tan－510°cos－210°cos120°tan－600°sin－330°＋sin29°cos61°－tan36°tan54°.[解](1)原式＝－sin3αcosα－cosαtan3α－cosα3＋－cosαsin2αsin2αtanαtanα－cosα3＝－sin3αcos2αsin3αcos3α·cos3α＋cosαsin4αsin2αcos2α·cos3α＝－cos2α＋sin2α-3-＝2sin2α－1.(2)原式＝－tan510°cos210°cos120°－tan600°－sin330°＋sin29°cos61°－tan36°tan54°＝－tan360°＋150°cos180°＋30°cos180°－60°tan2×360°－120°sin360°－30°＋1－tan36°cot36°＝－tan150°－cos30°－cos60°tan－120°－sin30°＝tan180°－30°cos30°cos60°tan－180°＋60°sin30°＝－tan30°cos30°cos60°tan60°sin30°＝－33×32×123×12＝－36.2．若cosθ＝74，求sinθ－5π·cos－π2－θ·cos8π－θsinθ－3π2sin－θ－4π的值．[解]原式＝－sinθ·－sinθ·cosθcosθ·－sinθ＝－sinθ＝±1－cos2θ＝±34.当θ为第一象限角时，原式＝－34，当θ为第四象限角时，原式＝34.三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【例3】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋kA0，ω0，|φ|π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？-4-[思路探究](1)先确定A，k，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．[解](1)由图象知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx向左平移π6个单位得到y＝sinx＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin2x＋π6，最后把函数y＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图象．3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，其中A0，ω0,0φπ2的周期为π，且图象上一个最高点为Mπ6，2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，π4时，求f(x)的最值，并写出相应的x值．[解](1)∵T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵图象上一个最高点为Mπ6，2，∴A＝2.且2×π6＋φ＝π2，φ＝π6，-5-∴f(x)＝2sin2x＋π6.(2)∵0≤x≤π4，∴π6≤2x＋π6≤2π3，∴12≤sin2x＋π6≤1.1≤f(x)≤2.当2x＋π6＝π6即x＝0时，f(x)min＝1；当2x＋π6＝π2即x＝π6时，f(x)max＝2.三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．[思路探究](1)将2x＋π6看成一个整体，利用y＝sinx的单调区间求解．(2)先求x∈0，π2时2x＋π6的范围，再根据最值求a的值．(3)先求f(x)取最大值时2x＋π6的值，再求x的值．[解](1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，-6-∴函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z，∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z.4．在下列给出的函数中，以π为周期且在0，π2内是增函数的是()A．y＝sinx2B．y＝cos2xC．y＝sin2x＋π4D．y＝tanx－π4D[由函数周期为π可排除选项A.x∈0，π2时，2x∈(0，π)，2x＋π4∈π4，54π，此时B，C项中函数均不是增函数．故选D.]数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系．“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性．由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影．【例5】函数y＝2－sinx3＋cosx的最小值为________，最大值为________．[思路探究]根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题．3－343＋34[如图所示，y＝2－sinx3＋cosx可看做定点A(3,2)与动点B(－cosx，sinx)连线的斜率，而动点(－cosx，sinx)是单-7-位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题．根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，取最小值3－34，取最大值3＋34.]5．求函数y＝sinx＋1cosx－2的值域．[解]将y＝sinx＋1cosx－2看成是单位圆上的点(cosx，sinx)到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围．如图所示，由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k∈－43，0，即y∈－43，0.