2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.4 诱导公式 第2课时 诱导公式（

-1-第2课时诱导公式(三)、(四)学习目标核心素养1．掌握诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)1．通过诱导公式(三)、(四)的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2．通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.1．诱导公式三(1)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系：cos[α＋2k＋1π]＝－cosαsin[α＋2k＋1π]＝－sinαtan[α＋2k＋1π]＝tanα(三)．(2)角α＋nπ的三角函数值：sin(α＋nπ)＝－sinα，n为奇数，sinα，n为偶数，cos(α＋nπ)＝－cosα，n为奇数，cosα，n为偶数，tan(α＋nπ)＝tan_α，n∈Z.2．诱导公式四(1)α与α＋π2的三角函数间的关系：cosα＋π2＝－sinαsinα＋π2＝cosα(四)．(2)以－α替代α可得另一组公式：cos－α＋π2＝sin_α，sin－α＋π2＝cos_α.思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？-2-[提示]诱导公式可以归纳为k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．1．sin585°的值为()A．－22B．22C．－32D．32A[sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－22.故选A.]2．已知sin40°＝a，则cos130°＝()A．aB．－aC．1－a2D．－1－a2B[cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.]3．若cosπ2＋θ0，且sinπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角C[由于cosπ2＋θ＝－sinθ0，所以sinθ0，又因为sinπ2－θ＝cosθ0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C.]给角求值问题【例1】(1)求下列各三角函数值．①sin－10π3；②cos296π；(2)求sin2nπ＋2π3·cosnπ＋4π3(n∈Z)的值．-3-[思路探究](1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择．(2)分n为奇数、偶数两种情况讨论．[解](1)①sin－10π3＝－sin10π3＝－sin2π＋4π3＝－sin4π3＝－sinπ＋π3＝sinπ3＝32.②cos296π＝cos4π＋5π6＝cos5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(2)①当n为奇数时，原式＝sin2π3·－cos43π＝sinπ－π3·－cosπ＋π3＝sinπ3·cosπ3＝32×12＝34；②当n为偶数时，原式＝sin23π·cos43π＝sinπ－π3·cosπ＋π3＝sinπ3·－cosπ3＝32×－12＝－34.1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解．2．凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．1．求下列各三角函数值．(1)tan(－855°)；-4-(2)sin176π；(3)化简：sin4k－14π－α＋cos4k＋14π－α(k∈Z)．[解](1)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.(2)sin176π＝sin2π＋56π＝sin56π＝sinπ2＋π3＝cosπ3＝12.(3)原式＝sinkπ－π4＋α＋coskπ＋π4－α.当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝sin2n＋1π－π4＋α＋cos2n＋1π＋π4－α＝sinπ－π4＋α＋cosπ＋π4－α＝sinπ4＋α＋－cosπ4－α＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则原式＝sin2nπ－π4＋α＋cos2nπ＋π4－α＝－sinπ4＋α＋cosπ4－α＝－sinπ4＋α＋cosπ2－π4＋α＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.综上所述，原式＝0.给值(式)求值问题【例2】已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．-5-[思路探究]由已知求cosα的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cosπ2＋α的值[解]∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2．若cos165°＝a，则tan195°＝()A.1－a2B．－1－a2aC.1－a2aD.1＋a2aB[cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝a，故cos15°＝－a(a0)，得sin15°＝1－a2，-6-tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝1－a2－a.]诱导公式中的分类讨论思想[探究问题]1．利用诱导公式能否直接写出sin(kπ＋α)的值？[提示]不能．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．如何化简tank2π＋α呢？[提示]当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，tankπ2＋α＝tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝1－tanα；当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，tankπ2＋α＝tanα.综上，tankπ2＋α＝1－tanα，k为奇数，tanα，k为偶数.【例3】设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.[思路探究]分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解．[解]当k为偶数时，sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α＝sin－α·－cosα－sinα·cosα＝－1.当k为奇数时sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α＝sinα·cosαsinα·－cosα＝－1.综上可得sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]cos[kπ＋α]＝－1.本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱-7-导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，k＋1π＋α＋k－1π－α＝2kπ，可使用配角法.3．化简sinnπ＋αcosnπ－αcos[n＋1π－α](n∈Z)的结果为________．(－1)n＋1sinα[①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝sin2kπ＋αcos2kπ－αcos[2k＋1π－α]＝sinαcosα－cosα＝－sinα.②当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝sin[2k＋1π＋α]cos[2k＋1π－α]cos[2k＋2π－α]＝－sinα－cosαcosα＝sinα.所以化简所得的结果为(－1)n＋1sinα.](教师用书独具)1．诱导公式分类归纳：(1)诱导公式一～三反映的是角π±α，2kπ±α，－α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式四反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．2．诱导公式共同特征(1)诱导公式一～四揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)这四组诱导公式可归纳为“k·π2±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.-8-1．下列各式不正确的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)B[cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．]2．sin600°的值为()A．12B．－12C．32D．－32D[sin600°＝sin(720°－120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.故选D.]3．cos1030°＝()A．cos50°B．－cos50°C．sin50°D．－sin50°A[cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.]4．已知sinφ＝611，求cos11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值．[解]∵sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＝cos6π－π2＋φ＝cos－π2＋φ＝cosπ2－φ＝sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ)＝611＋sinφ＝1211.