2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2.1 倍角公式教案（含解析）新人教B版必

-1-3.2.1倍角公式学习目标核心素养1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.二倍角公式S2α：sin2α＝2sin_αcos_α.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？[提示]倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角等等．1．sin15°sin75°的值为()A.12B.14C.32D.34B[原式＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.]2．计算1－2sin222.5°的结果为()A.12B.22C.33D.32B[1－2sin222.5°＝cos45°＝22.]-2-3．已知cosα＝13，则cos2α等于________．－79[由cosα＝13，得cos2α＝2cos2α－1＝2×132－1＝－79.]利用二倍角公式化简求值【例1】化简求值．(1)cos4α2－sin4α2；(2)sinπ24·cosπ24·cosπ12；(3)1－2sin2750°；(4)tan150°＋1－3tan2150°2tan150°.[思路探究]灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．[解](1)cos4α2－sin4α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝cosα.(2)原式＝122sinπ24cosπ24cosπ12＝12sinπ12cosπ12＝142sinπ12cosπ12＝14sinπ6＝18，∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12，∴原式＝12.(4)原式＝2tan2150°＋1－3tan2150°2tan150°＝1－tan2150°2tan150°＝1tan2×150°-3-＝1tan300°＝1tan360°－60°＝－1tan60°＝－33，∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.1．求下列各式的值：(1)sinπ8cosπ8；(2)2sin2π12＋1；(3)cos20°cos40°cos80°.[解](1)原式＝2sinπ8cosπ82＝sinπ42＝24.(2)原式＝－1－2sin2π12＋2＝2－cosπ6＝4－32.(3)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.-4-利用二倍角公式解决条件求值问题【例2】(1)已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为()A．2B．－2C．34D．－34(2)已知sinπ6＋α＝13，则cos2π3－2α的值等于()A．79B．13C．－79D．－13(3)已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈π2，π.①求sin2α的值；②求cos(2α＋β)的值．[思路探究](1)可先求tanα，再求tan2α；(2)可利用23π－2α＝2π3－α求值；(3)可先求sin2α，cos2α，cosβ，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．(1)D(2)C[(1)因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－32＝－34.(2)因为cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝13，所以cos2π3－2α＝2cos2π3－α－1＝2×132－1＝－79.](3)解：①因为α是第三象限角，cosα＝－34，所以sinα＝－1－cos2α＝－74，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×－74×－34＝378.②因为β∈π2，π，sinβ＝23，所以cosβ＝－1－sin2β＝－53，-5-cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sinα(或cosα)――――――――――→同角三角函数的关系cosα(或sinα)――――――→二倍角公式sin2α(或cos2α)．(2)sinα(或cosα)――――――→二倍角公式cos2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1)．(3)sinα(或cosα)――――――――――→同角三角函数的关系cosα或sinα，tanα――――――→二倍角公式tan2α.2．(1)已知α∈π2，π，sinα＝55，则sin2α＝______，cos2α＝________，tan2α＝________.(2)已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且α∈π2，π，求tan4α的值．(1)－4535－43[因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.](2)解：因为sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，则已知条件可化为sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，即12sin2π4＋α＝16，-6-所以sinπ2＋2α＝13，所以cos2α＝13.因为α∈π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin2α＝－1－cos22α＝－223，所以tan2α＝sin2αcos2α＝－22，故tan4α＝2tan2α1－tan22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明【例3】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[思路探究]可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．证明：法一：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．法二：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着-7-“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．3．求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；[解]左边＝1＋cos2A＋2B2－1－cos2A－2B2＝cos2A＋2B＋cos2A－2B2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立.倍角公式的灵活运用[探究问题]1．在化简1＋sinα－cosα1＋sinα＋cosα＋1＋cosα＋sinα1－cosα＋sinα时，如何灵活使用倍角公式？[提示]在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sinα2cosα2＋sinα22cosα2cosα2＋sinα2＋2cosα2cosα2＋sinα22sinα2sinα2＋cosα2＝sinα2cosα2＋cosα2sinα2＝1sinα2cosα2＝2sinα.2．如何求函数f(x)＝2cos2x－1－23sinxcosx(x∈R)的最小正周期？[提示]求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－3(2sinxcosx)＝cos2x－3sin2x＝2sinπ6－2x，知其最小正周期为π.【例4】求函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx，x∈π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[思路探究]化简fx的解析式→fx＝Asinωx＋φ＋B→ωx＋φ的范围→求最小值，单调减区间-8-[解]f(x)＝53·1＋cos2x2＋31－cos2x2－2sin2x＝33＋23cos2x－2sin2x＝33＋432cos2x－12sin2x＝33＋4sinπ3cos2x－cosπ3sin2x＝33＋4sinπ3－2x＝33－4sin2x－π3，∵π4≤x≤7π24，∴π6≤2x－π3≤π4，∴sin2x－π3∈12，22，所以当2x－π3＝π4，即x＝7π24时，f(x)取最小值为33－22.因为y＝sin2x－π3在π4，7π24上单调递增，所以f(x)在π4，7π24上单调递减．本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asinωx＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.4．求函数y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．[解]y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋23sinxcosx＝－cos2x＋3sin2x＝232sin2x－12cos2x＝2sin2x－π6，所以T＝2π2＝π，ymin＝－2.-9-由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z，又x∈[0，π]，所以令k＝0，得函数的单调递减区间为π3，5π6.(教师用书独具)1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2α2n＋1(n∈N*)．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝1－cos2α2.1．(2019·全