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-1-2.2.1平面向量基本定理学习目标核心素养1．了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示．(重点)2．理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．(难点)1．通过平面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助平面向量基本定理的应用，提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养.1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.(2)基底：把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．2．直线的向量参数方程式(1)向量参数方程式：已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．(2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→中，令t＝12，点M是AB的中点，则OM→＝12(OA→＋OB→)．这是线段AB的中点的向量表达式．思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？[提示]平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的．1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()-2-A.AB→，DC→B.AD→，BC→C.BC→，CB→D.AB→，DA→D[由于AB→，DA→不共线，所以是一组基底．]2．已知AD为△ABC的边BC上的中线，则AD→等于()A.AB→＋AC→B.AB→－AC→C.12AB→－12AC→D.12AB→＋12AC→D[根据线段BC的中点向量表达式可知AD→＝12(AB→＋AC→)＝12AB→＋12AC→，故选D.]3．下列关于基底的说法正确的是________(填序号)．①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．①③[①③正确；对于②，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量．]用基底表示向量【例1】设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，AP→＝13AB→，若AB→＝a，AC→＝b，试用a，b将MN→，NP→，PM→表示出来．[思路探究]把a，b看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN→，NP→，PM→用基底来表示．[解]NP→＝AP→－AN→＝13AB→－23AC→＝13a－23b.MN→＝CN→－CM→＝－13AC→－23CB→＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b.PM→＝－MP→＝－(MN→＋NP→)＝13(a＋b)．平面向量基本定理的作用以及注意点：1根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.-3-2要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若OA→＝a，OB→＝b，则OP→＝________，OQ→＝________.(用a，b表示)23a＋13b13a＋23b[OP→＝AP→－AO→＝13AB→＋OA→＝13(OB→－OA→)＋OA→＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b.OQ→＝AQ→－AO→＝23AB→＋OA→＝23(OB→－OA→)＋OA→＝13OA→＋23OB→＝13a＋23b.]直线的向量参数方程式的应用【例2】已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→(λ∈R，点O为直线AB外一点)，则点C的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究]将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解]将已知向量等式两边同时减去OA→，得OC→－OA→＝(3λ－1)OA→＋(1－3λ)OB→＝(1－3λ)(OB→－OA→)＝(1－3λ)AB→，即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，又AC→，AB→共始点，∴A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.理解直线的向量参数方程式时要注意OP→＝1－tOA→＋tOB→中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.-4-2.如图，设一直线上三点A，B，P满足AP→＝λPB→(λ≠－1)，O是平面上任意一点，则()A.OP→＝OA→＋λOB→1＋λ∴c＝a－2b.