2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式

-1-第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1.了解公式二、公式三、公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)1.通过运用数形结合的思想，从单位圆的对称性出发，研究诱导公式，提升学生的抽象思维素养．2．通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα．2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα．3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．-2-(2)公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα．思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？[提示](1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．公式二、三、四的推导过程如下：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x.由π＋α的终边与单位圆交点为(－x，－y)得sin(π＋α)＝－y＝－sinα，cos(π＋α)＝－x＝－cosα.由－α的终边与单位圆交点为(x，－y)得sin(－α)＝－y＝－sinα，cos(－α)＝x＝cosα.由π－α的终边与单位圆交点为(－x，y)得sin(π－α)＝y＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα.1．下列说法中正确的是()A．公式二～四对任意角α都成立B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinCD．以上说法均错误C[A错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋π2，k∈Z.B错误由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．C正确因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.故选C.]-3-2．tan(－2025°)的值为()A．0B．1C．－1D．3C[tan(－2025°)＝－tan2025°＝－tan(5×360°＋225°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.]3．已知tanα＝3，则tan(π＋α)＝________．3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是________．－12[由sin(π＋α)＝－12得－sinα＝－12即sinα＝12，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－12.]给角求值问题【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)法一：cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.法二：cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.-4-利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．1．求下列各三角函数值：(1)cos－11π6；(2)tan(－765°)；(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4.[解](1)cos－11π6＝cos11π6＝cos2π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4＝－sinπ3×cosπ6×tanπ4＝－32×32×1＝－34.化简求值【例2】化简下列各式．(1)tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）；(2)sin（1440°＋α）·cos（α－1080°）cos（－180°－α）·sin（－α－180°）.-5-[解](1)原式＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sinα（－sinα）cosαcosα（－cosα）sinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝sin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝sinα·cos（－α）（－cosα）·sinα＝cosα－cosα＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.2．化简：(1)sin（π＋α）sin（2π－α）cos（－π－α）sin（3π＋α）cos（π－α）sin（π－α）；(2)cos20°＋cos160°＋sin1866°－sin(－606°)．[解](1)原式＝－sinα（－sinα）（－cosα）sin（π＋α）（－cosα）sinα＝－sinα（－sinα）（－cosα）（－sinα）（－cosα）sinα＝－1.(2)原式＝cos20°－cos20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)＝sin66°－sin114°＝sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.给值(式)求值问题【例3】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A．m2－12B．m2＋12C．1－m22D．－m2＋12-6-(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．思路点拨：(1)化简已知和所求三角函数式→根据sinα±cosα，sinαcosα的关系求值(2)（105°＋α）－（α－75°）＝180°cos（α－75°）＝－13，α为第四象限角→求sin（α－75°）→用sin（180°＋α）＝－sinα求值(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝（sinα＋cosα）2－12＝m2－12.](2)[解]∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2（α－75°）＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.1．例3(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝13.2．将例3(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？[解]因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．-7-由sin2（α－75°）＋cos2（α－75°）＝1，sin（α－75°）cos（α－75°）＝－5，解得sin（α－75°）＝－52626，cos（α－75°）＝2626或sin（α－75°）＝52626，cos（α－75°）＝－2626.(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝52626.解决条件求值问题的两个技巧(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．利用诱导公式化简或证明问题[探究问题]1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα(其中k∈Z)．【例4】设k为整数，化简：sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）.思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解]法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝-8-sin（2mπ－α）cos[（2m－1）π－α]sin[（2m＋1）π＋α]cos（2mπ＋α）＝sin（－α）cos（π＋α）sin（π＋α）cosα＝（－sinα）（－cosα）－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝－sin（kπ＋α）[－cos（kπ＋α）]－sin（kπ＋α）cos（kπ＋α）＝－1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．提醒：注意分类讨论思想的应用．3．求证：tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）＝－tanα.[证明]左边＝tan（－α）sin（－α）cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝（－tanα）（－sinα）cosα（－cosα）sinα＝－tanα＝右边，∴tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）＝－tanα.1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是公式的应用．2．诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～-9-2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角