2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正

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-1-第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期.(重点)3.掌握函数y=sinx和y=cosx的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性,培养学生的数学抽象核心素养.2.通过周期性和奇偶性的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的直观想象核心素养.1.函数的周期性(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考:函数y=|sinx|,y=|cosx|是周期函数吗?[提示]是,周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是π.1.下列函数中,周期为π2的是()A.y=sinx2B.y=sin2xC.y=cosx4D.y=cos4xD[根据公式T=2πω可知π2=2πω,得ω=4,故应选D.]-2-2.函数y=2sin2x+π2是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数B[y=2sin2x+π2=2cos2x,它是周期为π的偶函数.]3.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.6[由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】求下列函数的周期:(1)y=sin2x+π4;(2)y=|sinx|.思路点拨:(1)法一:寻找非零常数T,使f(x+T)=f(x)恒成立.法二:利用y=Asin(ωx+φ)的周期公式计算.(2)作函数图象,观察出周期.[解](1)法一:(定义法)y=sin2x+π4=sin2x+π4+2π=sin2(x+π)+π4,所以周期为π.法二:(公式法)y=sin2x+π4中ω=2,T=2πω=2π2=π.(2)作图如下:观察图象可知周期为π.1.本例(2)中函数变成“y=|cosx|”,图象如何?[解]作图如下:-3-观察图象可知周期是π.2.本例(2)中函数变成y=sin|x|或y=cos|x|,图象如何?[解]作图如下:由图象可知y=sin|x|不是周期函数,y=cos|x|的图象与y=cosx图象相同,仍为周期函数,周期为2π.求三角函数周期的方法:(1)定义法:即利用周期函数的定义求解.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=2π|ω|.(3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.提醒:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=π|ω|.1.利用周期函数的定义求下列函数的周期.(1)y=cos2x,x∈R;(2)y=sin13x-π4,x∈R.[解](1)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为π.(2)因为sin13(x+6π)-π4=sin13x+2π-π4=sin13x-π4,由周期函数的定义知,y=sin13x-π4的周期为6π.-4-三角函数奇偶性的判断【例2】(1)若函数y=2sin(x+φ)为偶函数,则φ的值的集合为________.(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=sin-12x+π2;②f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);③f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx.思路点拨:(1)结合y=cosωx为偶函数→利用诱导公式→φ=π2+kπ(k∈Z)(2)(1)φφ=kπ+π2,k∈Z[因为y=cosωx为偶函数,y=sinωx为奇函数,所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点,要使通过诱导公式后函数变成y=2cosx或y=-2cosx,只有φ=kπ+π2(k∈Z).](2)[解]①显然x∈R,f(x)=cos12x,∵f(-x)=cos-12x=cos12x=f(x),∴f(x)是偶函数.②由1-sinx>0,1+sinx>0,得-1<sinx<1,解得定义域为xx∈R且x≠kπ+π2,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx),∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x),-5-∴f(x)为奇函数.③∵1+sinx≠0,∴sinx≠-1,∴x∈R且x≠2kπ-π2,k∈Z.∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数.1.判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f(-x)的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.2.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=cos32π+2x+x2sinx;(2)f(x)=1-2cosx+2cosx-1.[解](1)f(x)=sin2x+x2sinx,又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin2x-x2sinx=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由1-2cosx≥0,2cosx-1≥0,得cosx=12,∴f(x)=0,x=2kπ±π3,k∈Z,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1.一般通过什么方法研究三角函数的性质?提示:三角函数的性质可从图象上直观地反映出来,如图象的对称性,图象的升降,图象的范围等相应地反映函数的奇偶性,单调性,定义域和值域,所以解题时要通常借助图象.-6-2.若函数y=f(x)是周期T=2的周期函数,也是奇函数,则f(2018)的值是多少?提示:f(2018)=f(0+1009×2)=f(0)=0.【例3】(1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是()A.y=cos|2x|B.y=|sin2x|C.y=sinπ2+2xD.y=cos3π2-2x(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈0,π2时,f(x)=sinx,则f5π3等于()A.-12B.12C.-32D.32思路点拨:(1)先作出选项A,B中函数的图象,化简选项C、D中函数的解析式,再判断奇偶性、周期性.(2)先依据f(x+π)=f(x)化简f5π3;再依据f(x)是偶函数和x∈0,π2,f(x)=sinx求值.(1)D(2)D[(1)y=cos|2x|是偶函数,y=|sin2x|是偶函数,y=sinπ2+2x=cos2x是偶函数,y=cos3π2-2x=-sin2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.(2)f5π3=f5π3-π=f2π3=f2π3-π=f-π3=fπ3=sinπ3=32.]1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,“π”改为“11π12”,其他条件不变,结果如何?[解]f5π3=f5π3-11π12×2=f-π6=-fπ6=-sinπ6=-12.2.若本例(2)中的“π”改为“π2”,去掉“f(x)是偶函数”,其他条件不变,求f-176π.[解]∵f(x)的周期为π2,∴f-176π=f-3π+π6=f-6×π2+π6=fπ6=sinπ6=12.-7-1.三角函数周期性的解题策略探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.2.与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);(2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+π2(k∈Z);(3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+π2(k∈Z);(4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).1.求函数的最小正周期的常用方法:(1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)=f(x)成立的T.(2)图象法,即作出y=f(x)的图象,观察图象可求出T,如y=|sinx|.(3)结论法,一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=2πω.2.判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断奇偶性.3.周期函数的定义域是一个无限集,周期有无数多个,可能存在最小正周期,也可能不存在最小正周期,如f(x)=1,x∈R是周期函数,但不存在最小正周期.1.下列命题中不正确的是()A.由于sinπ3+π3=sinπ3,则π3是正弦函数y=sinx的一个周期B.若T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N*),也是函数f(x)的周期C.函数y=3sin2x是奇函数D.函数y=-cosπ3x是偶函数A[根据周期的定义可以判断A不正确,B对,再由奇偶性的判断法可判断C、D均正确.]2.函数f(x)=2sin2x的奇偶性为()-8-A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数A[f(x)=2sin2x的定义域为R,f(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.]3.函数f(x)=3sinπx2-π4,x∈R的最小正周期为______.4[由已知得f(x)的最小正周期T=2ππ2=4.]4.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3,则f(5)=________.-3[由已知得f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.]5.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos3x;(2)f(x)=xsin(x+π).[解](1)f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x),所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)f(x)=xsin(x+π)=-xsinx,所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x),故函数f(x)为偶函数.

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