2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象教案（含解析）新人

-1-1.4.3正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养．2．通过对正切函数性质的研究，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想得到体现.正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域_xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数对称中心kπ2，0，k∈Z单调性在开区间－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示]不是，在kπ2，0中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．1．函数f(x)＝tanx＋π4的单调增区间为()A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．()kπ，kπ＋π，k∈ZC．kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD．kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z-2-C[令kπ－π2＜x＋π4＜kπ＋π2(k∈Z)得kπ－3π4＜x＜kπ＋π4(k∈Z)，故单调增区间为kπ－3π4，kπ＋π4(k∈Z)．]2．函数y＝tan2x－π6的定义域为________．xx≠kπ2＋π3，k∈Z[因为2x－π6≠kπ＋π2，k∈Z，所以x≠kπ2＋π3，k∈Z，所以函数y＝tan2x－π6的定义域为xx≠kπ2＋π3，k∈Z.]3．函数y＝tan3x的最小正周期是________．π3[函数y＝tan3x的最小正周期是π3.]4．函数y＝tanx－π5的对称中心是________．kπ2＋π5，0(k∈Z)[令x－π5＝kπ2(k∈Z)得x＝kπ2＋π5(k∈Z)，∴对称中心为kπ2＋π5，0(k∈Z)．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝1tanx－π4＜x＜π4，且x≠0的值域是()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y＝11＋tanx；②y＝lg(3－tanx)．思路点拨：(1)由x范围求出tanx的范围→求1tanx的范围(2)①中注意分母不为零且y＝tanx本身的定义域；-3-②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B[当－π4＜x＜0时，－1＜tanx＜0，∴1tanx＜－1；当0＜x＜π4时，0＜tanx＜1，∴1tanx＞1.即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝1tanx的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解]①要使函数y＝11＋tanx有意义，需使1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2（k∈Z），所以函数的定义域为xk∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.②因为3－tanx＞0，所以tanx＜3.又因为tanx＝3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－π2＜x＜kπ＋π3(k∈Z)，所以函数的定义域是xkπ－π2＜x＜kπ＋π3，k∈Z.1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得x.2．解形如tanx＞a的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．-4-1．求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．[解]要使函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)有意义，则tanx＋1≥0，1－tanx＞0，即－1≤tanx＜1.当x∈－π2，π2上满足上述不等式的x的取值范围是－π4，π4.又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为x－π4＋kπ≤x＜π4＋kπ，k∈Z.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)函数f(x)＝tan2x＋π3的周期为________．(2)已知函数y＝tanx－π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝cosπ2－x＋tanx.思路点拨：(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝kπ2，k∈Z求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．(1)π2(2)kπ2＋π3，0(k∈Z)[(1)法一：(定义法)∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3，即tan2x＋π2＋π3＝tan2x＋π3，∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f(x)＝tan2x＋π3的周期T＝π2.-5-(2)由x－π3＝kπ2(k∈Z)得x＝kπ2＋π3(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为kπ2＋π3，0，k∈Z.](3)[解]①定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，y＝cosπ2－x＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法．(1)定义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．提醒：y＝tanx，x≠kπ＋π2(k∈Z)的对称中心坐标为kπ2，0，k∈Z.2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝tan2x－tanxtanx－1；(2)f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.[解](1)由x≠kπ＋π2，k∈Z，tanx≠1，得f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋π4，k∈Z，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．-6-(2)函数定义域为xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f(x)，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y＝tanx在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1x2，但tanx1＝tanx2.2．如果让你比较tan－4π3与tan－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】(1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：①tan13π4与tan17π5；②tan－13π4与tan－16π5.(2)求函数y＝3tanπ4－2x的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上→根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y＝－3tan2x－π4→解－π2＋kπ＜2x－π4＜kπ＋π2，k∈Z→求出单调区间[解](1)①因为tan13π4＝tanπ4，tan17π5＝tan2π5，-7-又0＜π4＜2π5＜π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，所以tanπ4＜tan2π5，即tan13π4＜tan17π5.②因为tan－13π4＝－tanπ4，tan－16π5＝－tanπ5，又0＜π5＜π4＜π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，所以tanπ4＞tanπ5，所以－tanπ4＜－tanπ5，即tan－13π4＜tan－16π5.(2)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4，由－π2＋kπ＜2x－π4＜π2＋kπ，k∈Z得，－π8＋k2π＜x＜3π8＋k2π，k∈Z，所以y＝3tanπ4－2x的减区间为－π8＋k2π，3π8＋k2π，k∈Z.1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan12x－π4”，结果又如何？[解]由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2x2kπ＋32π(k∈Z)，∴函数y＝3tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋32π(k∈Z)．2．将本例(2)中函数改为“y＝lgtan2x－π4”结果又如何？-8-[解]因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y＝lgtanx的单调递增区间就是函数y＝tanx(tanx＞0)的单调递增区间，令kπ＜2x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2＋π8＜x＜kπ2＋3π8(k∈Z)，故y＝lgtan2x－π4的增区间为kπ2＋π8，kπ2＋3π8，k∈Z.1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z，值域是R.(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝π|ω|.(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.-9-1．下列说法正确的是()A．正切函数的定义域和值域都是RB．正切函数在其定义域内是单调增函数C．函数y＝|tanx|与y＝tanx的周期都是πD．函数y＝tan|x|的最小正周期是π2C[y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2（k∈Z），所以A错；由正切函数图象可知B错；画出y＝tan