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-1-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量的数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养了学生数学建模和数学抽象的核心素养.2.通过向量数量积的运算学习，提升了学生数学运算和数据分析的核心素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．特别地，零向量与任一向量的数量积等于0．思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cosθ；②a在b的方向上的投影为|a|cosθ．(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝a·a求夹角cosθ＝a·b|a||b|不等关系a·b≤|a||b|-2-4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A．12B．32C．1D．－12A[a·b＝1×1×cos60°＝12.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A．π6B．π4C．π3D．π2C[由条件可知，cosθ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于．3[a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×12＝3.]4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为．2[设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ＝23，所以a·b＝|b||a|cosθ＝3×23＝2.]向量数量积的计算及其几何意义-3-【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为π3，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a－b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)32[设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cosθ＝a·e1|e1|＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e21－e1·e2＝2－1×1×cosπ3＝32.](2)[解]①(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)b在a方向上的投影为a·b|a|，a在b方向上的投影为a·b|b|.1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.-4-②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝．(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.思路点拨：灵活应用a2＝|a|2求向量的模．(1)23[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝12＝23.](2)[解]因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为π3，求|a＋b|，|a－b|.-5-[解]∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为π3，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cosπ3＋52＝75，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cosπ3＋52＝25，∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝a·b|a||b|.【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．(1)(0，1)∪(1，＋∞)[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得（a＋3b）·（7a－5b）＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝0，-6-即7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0，②②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值．[解]由已知得|e1＋ke2|＝e21＋2ke1·e2＋k2e22＝1＋k2，|ke1＋e2|＝k2e21＋2ke1·e2＋e22＝k2＋1，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cosπ3＝（e1＋ke2）（ke1＋e2）|e1＋ke2||ke1＋e2|＝2k1＋k2，即2k1＋k2＝12，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈0，π2；当cosθ＜0-7-时，θ∈π2，π，当cosθ＝0时，θ＝π2.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a2.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝cB[A错，当a与b夹角为π2时，a·b＝0；C错，a2＝b2即|a|＝|b|；D错，数量积不能约分；只有B对．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为．-8-125[设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，所以|a|cosθ＝125，即a在b方向上的投影为125.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×12＝252.|a＋b