2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象学案（含

-1-1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象考试标准课标要点学考要求高考要求φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响bc简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)；x∈[0，＋∞)(ω0，A0)有关物理量aa知识导图学法指导1.注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化，而非ωx，故若x前面有系数要先提取出来．2．用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sint的图象及性质求解应用．3．继续加深理解五点法的应用，特别是非正常周期的特殊点：端点和对应五点.1.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-2-(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响状元随笔(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系.(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．(4)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0中各参数的物理意义3．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0的有关性质(1)定义域：R.(2)值域：[－A，A]．(3)周期性：T＝2πω.(4)对称性：对称中心kπ－φω，0，对称轴是直线x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)．(5)奇偶性：当φ＝0时是奇函数．(6)单调性：通过整体代换可求出其单调区间．状元随笔研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，-3-利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx＋π3的图象向左平移π3个单位得到函数y＝sinx的图象．()(2)函数y＝sinx＋π3的图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin2x＋π3的图象．()(3)由函数y＝sinx＋π3的图象到函数y＝2sinx＋π3的图象，需要将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍．()答案：(1)×(2)×(3)√2．利用“五点法”作函数y＝sin12x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点的横坐标为()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：令12x＝0，π2，π，3π2，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.答案：C3．函数f(x)＝sinx＋π4图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π4B．x＝π4C．x＝π2D．x＝π解析：对于函数f(x)＝sinx＋π4，令x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，求得x＝kπ＋π4，k∈Z，可得它的图象的一条对称轴为x＝π4，故选B.-4-答案：B4．将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．解析：将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin9x的图象．答案：y＝sin9x类型一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1用“五点法”画函数y＝2sin3x＋π6的简图．【解析】先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋π6，则x＝13X－π6，列表：X0π2π32π2πx－π18π9518π49π1118πy020－20描点作图，再将图象左右延伸即可．利用五点法作图，先换元再列举、描点，最后用平滑的曲线连线．方法归纳五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．-5-(1)列表，令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x，y)值．(2)描点．(3)连线得函数在一个周期内的图象．(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.跟踪训练1已知函数y＝2sinx2＋π6.(1)试用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期和初相．解析：(1)令t＝x2＋π6，列表如下：x－π32π35π38π311π3t0π2π3π22πy020－20描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为π6.换元→列表求值→描点画图类型二三角函数的图象变换例2由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin2x－π6＋1的图象．【解析】方法一y＝sinx的图象――――――――→所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变.-6-