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-1-2.1平面向量的实际背景及基本概念[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是a|a|.A．3B．2C．1D．0解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|，故④也是错误的．答案：D3．下列命题中，正确的是()A．|a|＝|b|⇔a＝bB．|a||b|⇔abC．a＝b⇔a∥bD．|a|＝0⇔a＝0解析：由零向量的定义，可知D选项是正确的，故选D.答案：D4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()-2-A.AD→＝BC→B.AC→＝BD→C.PE→＝PF→D.EP→＝PF→解析：由平面几何知识知，AD→与BC→方向不同，故AD→≠BC→；AC→与BD→方向不同，故AC→≠BD→；PE→与PF→的模相等而方向相反，故PE→≠PF→.EP→与PF→的模相等且方向相同，∴EP→＝PF→.答案：D5．若|AB→|＝|AD→|且BA→＝CD→，则四边形ABCD的形状为()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由BA→＝CD→，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为|AB→|＝|AD→|，所以四边形ABCD为菱形．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|OA→|＝________.解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA→|＝2.答案：27.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D-3-四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF→方向相反的向量为________．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与EF→平行的向量为DC→，CD→，AB→，BA→，其中方向相反的向量为BA→，CD→.答案：BA→，CD→8．给出下列命题：①若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．-4-10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，即AB∥CD.又|AB→|＝|CD→|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD→|＝|BC→|＝200(千米)．[能力提升](20分钟，40分)11．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是()A.AB→＝OC→B.AB→∥DE→C．|AD→|＝|BE→|D.AD→＝FC→-5-解析：由题图可知，|AD→|＝|FC→|，但AD→、FC→不共线，故AD→≠FC→，故选D.答案：D12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即②能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是②③.答案：②③13．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？解析：如图所示，AB→表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|AB→|＝1400km.BC→表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则|BC→|＝1400km.所以AC→为飞机从A地到C地的位移．在△ABC中，AB＝BC＝1400km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1400km.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1400km.14．如图，在△ABC中，已知向量AD→＝DB→，DF→＝EC→，求证：AE→＝DF→.证明：由DF→＝EC→，可得DF＝EC且DF∥EC，故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.∵AD→＝DB→，∴D为AB的中点．∴AE→＝EC→，∴AE→＝DF→.-6-