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-1-2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量数量积的概念及其物理意义bb平面向量投影的概念aa平面向量数量积的性质及运算律bb知识导图学法指导1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0.几何意义|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积-2-性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(4)cosθ＝a·b|a|·|b|；(5)|a·b|≤|a||b|运算律交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c状元随笔关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a→与b→的夹角为θ，θ＝0时，a→与b→同向；θ＝π时，a→与b→反向；θ＝π2时，a→⊥b→.(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()(2)两个向量的数量积是向量．()(3)设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＞0⇔a·b＞0.()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝()A.12B.32-3-C．1D．－12解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cosθ＝1×1×12＝12.答案：A3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝13.答案：C4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，cosθ＝a·b|a|·|b|＝21×4＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π3类型一向量数量积的计算及其几何意义例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A.－58B.18C.14D.118(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．【解析】(1)设BA→＝a，BC→＝b，则a·b＝12，|a|＝|b|＝1.DE→＝12AC→＝12(b－a)，DF→＝32DE→-4-＝34(b－a)，AF→＝AD→＋DF→＝－12a＋34(b－a)＝－54a＋34b，AF→·BC→＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝a·b|b|＝－125＝－125；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ＝a·b|a|＝－123＝－4.【答案】(1)B(2)－125－4(1)先求AF→，再利用向量的数量积定义计算．(2)向量a→在向量b→方向上的投影为|a→|·cosθ＝a→·b→|b→|.