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-1-3.2.1几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快．知识点二指数函数y＝ax(a1)，对数函数y＝logax(a1)和幂函数y＝xn(n0)增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a1，n0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logaxxnax成立．()-2-答案：(1)×(2)×2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝3xB．y＝1000xC．y＝log2xD．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123，b＝130.2，c＝213，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123log121＝0,0b＝130.21，c＝2131，∴有abc.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901-3-y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A(2)y2,(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用-4-例2判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当xx0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当xx1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)f(x)．-5-f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得3a＋b＝1.3，2a＋b＝1.2，解得a＝0.1，b＝1.所以有关系式y＝0.1x＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1.2，9a＋3b＋c＝1.3，解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7.所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得ab＋c＝1，①ab2＋c＝1.2，②ab3＋c＝1.3.③由①，得ab＝1－c，代入②③，得b1－cc＝1.2，b21－cc＝1.3.则c＝1.2－b1－b，c＝1.3－b21－b2，解得b＝0.5，c＝1.4.则a＝-6-1－cb＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练31626年，有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛，并在借据上注明：归还此岛时，对方要还本付息，年利率是6%，但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年，双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公，要求法院判明是非．法官请数学家作了计算，结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算，本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算，本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()-7-A．y＝1B．y＝xC．y＝2xD．y＝log3x解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.答案：A3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x12，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是()A．aB．bC．cD．d解析：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是()解析：函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0a1，选项B中a1，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，选D.答案：D5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2x4时，有()-8-A．y1y2y3B．y2y1y3C．y1y3y2D．y2y3y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2y1y3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函