2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案（含解析）新人

-1-3.1.1两角差的余弦公式考试标准课标要点学考要求高考要求两角差的余弦公式bb两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式cc两角和与差的正切公式cc知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角状元随笔对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝α＋β2－α－β2等．-2-[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．cos(30°－45°)等于()A.22B.32C.2＋34D.2＋64解析：cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝2＋64.答案：D3．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于()A.12B.32C.33D.3解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.答案：B4．已知cosα＝15，α∈0，π2，则cosα－π3＝________.解析：因为cosα＝15，α∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝1－152＝265.所以cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝15×12＋265×32＝1＋6210.-3-答案：1＋6210类型一运用公式化简求值例1化简求值：(1)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(2)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.【解析】(1)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝32.(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(1)由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．(2)利用公式求值．方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1求值：(1)cos15°＝________；(2)cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________.解析：(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.答案：(1)6＋24(2)12-4-(1)15°＝45°－30°.(2)利用公式求值．类型二给值求值问题例2已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．【解析】因为α，β∈0，π2，所以0α＋βπ，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sinα＝45，所以cosα＝35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×35＋6365×45＝204325.β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．方法归纳给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝α＋π4－π4－β等．跟踪训练2若把本例2中“α，β∈0，π2”改为“α，β∈π2，π”，求cosβ的值．解析：因为α，β∈π2，π，所以πα＋β2π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝－6365，又sinα＝45，所以cosα＝－35，-5-所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×－35＋－6365×45＝－204325.由α，β∈π2，π，得α＋β∈(π，2π)，由已知求α＋β，α的正(余)弦值再利用公式求值．类型三由三角函数值求角例3已知cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0βαπ2，求β的值．【解析】因为0βαπ2，所以0α＋βπ，由cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，得sinα＝255，sin(α＋β)＝31010，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1010×55＋31010×255＝22.又β∈0，π2所以β＝π4.要求β，因为0βπ2所以先求cosβ，又cosβ＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．方法归纳(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．跟踪训练3已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝1010，则α－β＝________.解析：因为α，β均为锐角，所以cosα＝55，cosβ＝31010.所以cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝55×31010＋255×1010＝22.-6-又因为sinαsinβ，所以0βαπ2，所以0α－βπ2，故α－β＝π4.答案：π4由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C.32D.12解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos(65°－35°)＝cos30°＝32.故选C.答案：C2．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6的值是()A．0B.12C.22D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用Cα－β求值．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.答案：C-7-3．sinα＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为()A．－25B．－210C．－7210D．－725解析：由条件可得cosα＝－45，∴cosπ4－α＝22cosα＋22sinα＝22(cosα＋sinα)＝22－45＋35＝－210，故选B.答案：B4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cosA，sinA)，b＝(cosB，sinB)且a·b＝1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：因为a·b＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．故选B.答案：B5．设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ等于()A.22B．－210C.22或－210D.22或210解析：因为α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，所以sinα＝1－cos2α＝255；同理可得cos(α－β)＝31010，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55-8-×31010＋255×1010＝22，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．求值：cos15°cos105°－sin15°sin105°＝________.解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos120°＝－12.答案：－127．计算：cos555°＝________.解析：cos555°＝cos(720°－165°)＝cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－22×32＋22×12＝－6＋24.答案：－6＋248．已知sinα＝1517，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为________．解析：∵sinα＝1517，α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－15172＝－817，∴cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×－817＋22×1517＝7234.答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分)9．计算下列各式的值：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°；(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ.解析：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°-9-＝cos(56°－26°)＝cos30°＝32.(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ＝cosπ4＋θ－θ＝cosπ4＝22.10．已知cosα－π6＋sinα＝453，求cosα－π3的值．解析：因为cosα－π6＋sinα＝32cosα＋32sinα＝453，所以12cosα＋32sinα＝45，所以cosα－π3＝12cosα＋32sinα＝45.[能力提升](20分钟，40分)11．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosa＋β2的值为()A.33B．－33C.539D．－69解析：因为0απ2，－π2β0，所以π4α＋π43π4，π4π4－β2π2.又因为cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，所以sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63，所以cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2-10-＝13×33＋223×63＝539.答案：C12．若cos(α－β)＝13，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.解析：原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝