2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公

-1-第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角．2．两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R状元随笔公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)――→以－β代βC(α－β)――→诱导公式S(α－β)――→以－β代βS(α＋β)(2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意的α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√-2-2．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0B.12C.32D．1解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.答案：D3．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα＋π4＝()A.75B.15C．－75D．－15解析：易得cosα＝45，则2cosα＋π4＝2cosαcosπ4－sinαsinπ4＝15.答案：B4．计算sin7π12＝________.解析：sin7π12＝sinπ3＋π4＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝32×22＋12×22＝6＋24.答案：6＋24类型一给角求值例1求值：(1)cos105°；(2)cos31°＋cos91°sin29°.【解析】(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.-3-(2)cos31°＋cos91°sin29°＝cos31°＋cos60°＋31sin29°＝cos31°＋cos60°cos31°－sin60°sin31°sin29°＝32cos31°－32sin31°sin29°＝3sin()60°－31°sin29°＝3.(1)105°＝60°＋45°(2)找到31°、91°、29°之间的联系利用公式化简求值方法归纳解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练1(1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sinα＋π4的值为()A.25B．－25C.210D．－210(2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.－32B.32C．－12D.12解析：(1)因为角α的终边经过点(－3,4)，则sinα＝45，cosα＝－35，所以sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45×22－35×22＝210.(2)原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.答案：(1)C(2)D(1)由角α的终边经过点(－3,4)，可以求出sinα＝45，cosα＝－35.(2)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解．-4-类型二给值求值例2已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．【解析】因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β3π2.所以sin(α－β)＝1－cos2＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2＝－1－－352＝－45.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练2本例条件变为：π2βα3π4，sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，求sin2β的值．解析：因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β32π.所以cos(α－β)＝1213，cos(α＋β)＝－1213，sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)-5-＝－513×1213－－1213×513＝0.(1)由已知求出α－β、α＋β的范围．(2)2β＝(α＋β)－(α－β)．(3)利用公式求值．类型三给值求角例3已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0απ2，0βπ2，求角β的值．【解析】因为0απ2，cosα＝17，所以sinα＝437.又因为0βπ2，所以0α＋βπ.因为sin(α＋β)＝5314sinα，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为0βπ2，所以β＝π3.(1)已知α的范围及cosα，求sinα.(2)求α＋β的范围及sin(α＋β)求cos(α＋β)．(3)利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]，求值．方法归纳解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是π2，3π2或－π2，π2时，选取求正弦值．跟踪训练3若把本例中的“0βπ2”改为“π2βπ”，求角β的值．解析：因为0απ2，cosα＝17，所以sinα＝437.-6-又因为π2βπ，所以π2α＋β3π2.因为sin(α＋β)＝5314，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为π2βπ，所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改，再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．sin105°的值为()A.3＋22B.2＋12C.6－24D.2＋64解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.答案：D2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12-7-解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A．－7210B.7210C．－210D.210解析：因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.答案：A4．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：因为sin(B＋C)＝2sinBcosC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．答案：D5．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32解析：因为f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6(x∈R)，-8-所以f(x)的值域为[－3，3]．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知cosα－π6＝1213π6απ2，则cosα＝________.解析：由于0α－π6π3，cosα－π6＝1213，所以sinα－π6＝513.所以cosα＝cosα－π6＋π6＝cosα－π6cosπ6－sinα－π6sinπ6＝1213×32－513×12＝123－526.答案：123－5267．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－128．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，则sinβ＋5π4＝________.解析：sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝35，即sinβ＝－35，又β是第三象限角，所以cosβ＝－45，-9-所以sinβ＋5π4＝sinβcos5π4＋cosβsin5π4＝－35×－22＋－45×－22＝7210.答案：7210三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各式的值．(1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2)3sinπ12＋cosπ12.解析：(1)原式＝sin(360°－13°)·cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝22.(2