2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案（含解析）新人教

-1-3.2简单的三角恒等变换考试标准课标要点学考要求高考要求1.三角恒等变换bb2.三角恒等变换的应用bb知识导图学法指导三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差)角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.1.半角公式状元随笔巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；-2-数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－”号．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.状元随笔(1)辅助角公式形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a2＋b2sin(a＋φ)的形式，其中tanφ＝ba，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝ba以及点(a，b)所在的象限来确定．(2)辅助角公式的特殊情况sinα±cosα＝2sinα±π4；sinα±3cosα＝2sinα±π3；cosα±3sinα＝2sinπ6±α.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cosα2＝1＋cosα2.()(2)若α是第一象限角，则tanα2＝1－cosα1＋cosα.()(3)对于任意α∈R，sinα2＝12sinα都不成立．()答案：(1)×(2)√(3)×2．若cosα＝13，且α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.63B．－63C．±63D．±33解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈0，π2.所以cosα2＝1＋cosα2＝23＝63.-3-答案：A3．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．cos2π6－sin2π6C.tan30°1－tan230°D.1＋cos60°2解析：选项A中，原式＝12sin30°＝14；选项B中，原式＝cosπ3＝12；选项C中，原式＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32；选项D中，原式＝cos30°＝32.故选B.答案：B4．化简2cosx＋6sinx等于()A．22cosπ6－xB．22cosπ3－xC．22cosπ6＋xD．22cosπ3＋x解析：2cosx＋6sinx＝2212cosx＋32sinx＝22cosπ3cosx＋sinπ3sinx＝22cosπ3－x.答案：B-4-类型一三角函数式的化简求值例1(1)化简2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝______；(2)1sin10°－3sin80°的值为________．【解析】(1)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝cos2α2cosπ4＋αsinπ4＋α×sin2π4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.(2)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝412cos10°－32sin10°2sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10sin20°＝4sin30°－10sin20°＝4.【答案】(1)1(2)4(1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值．(2)80°＝90°－10°，通分，利用辅助角化简求值．方法归纳三角函数式化简原则和方法(1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低．(2)三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半．(3)利用辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba(或asinx＋bcosx＝a2＋b2cosx其中tanφ＝ab将形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值．跟踪训练1(1)求值：sinπ8＝____________________________；-5-cosπ8＝____________________________.(2)[2019·正定检测]2＋2cos8＋21－cos8的化简结果是________．解析：(1)sinπ8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22；cosπ8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22.(2)原式＝21＋2cos24－1＋211－2sin24＝2|cos4|＋22|sin4|＝－2cos4－22sin4.答案：(1)2－222＋22(2)－2cos4－22sin4由sinπ80，所以1－cosπ42.由cosπ80，则cosπ8＝1＋cosπ42.半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简．类型二三角恒等式的证明例2若πα3π2，证明：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα＝－2cosα2；【证明】左边＝sin2α2＋cos2α2＋2sinα2cosα21＋2cos2α2－1－1－1－2sin2α2＋sin2α2＋cos2α2－2sinα2cosα21＋2cos2α2－1＋1－1－2sin2α2＝sinα2＋cosα222cosα2－sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋sinα2因为πα3π2，所以π2α23π4，所以sinα20cosα2.-6-所以左边＝sinα2＋cosα222－cosα2－sinα2＋sinα2－cosα222－cosα2＋sinα2＝－12sinα2＋cosα2＋12sinα2－cosα2＝－2cosα2＝右边．所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明：方法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．所以原式成立．方法二左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2αtanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．所以原式成立．左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．类型三三角恒等变换与三角函数的综合-7-例3设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若0απ2βπ，fπ4－β2＝1，fα＋β2＝0，求cosα的值．【解析】(1)f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x.当－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k∈Z)，即x∈－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)．(2)由fπ4－β2＝1，fα＋β2＝0，得cosβ＝－33，sin(α＋β)＝33，∵0απ2βπ，∴α＋β∈π2，3π2，∴sinβ＝1－cos2β＝1－13＝63，cos(α＋β)＝－1－sin2＝－1－13＝－63.∴cosα＝cos(α＋β－β)＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－63×－33＋33×63＝223.状元随笔(1)利用两角和的余弦公式及降幂公式→将展开合并→利用正弦函数的单调性求函数的单调递减区间(2)f（4-2）＝1，f（2＋）＝0→求出cosβ，sin＋结合角的范围→求sinβ，cos＋的值→利用两角差的余弦公式求cosα的值方法归纳函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3已知函数f(x)＝sin2x＋23sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；-8-(2)求函数f(x)在区间－π6，π3上的值域．解析：(1)f(x)＝1－cos2x2＋3sin2x＋31＋cos2x2＝2＋3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6＋2，所以最小正周期T＝2π2＝π，因为－π2＋2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin2x＋π6，由于－π6≤x≤π3，所以2x＋π6∈－π6，5π6，所以sin2x＋π6∈－12，1，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间－π6，π3上的值域为[1,4]．利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用性质求解．3.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A．－1010B.1010C.3103D．－35解析：因为α∈3π2，2π，所以α2∈34π，π，所以sinα2＝1－cosα2＝110＝1010.答案：B-9-2．若sin2α＝14，且α∈π4，π2，则cosα－sinα的值为()A.32B.34C．－32D．－34解析：因为α∈π4，π2，所以cosαsinα，(cosα－sinα)2＝1－sin2α，所以cosα－sinα＝－32.答案：C3．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝1－cos50°2，则有()A．cbaB．abcC．acbD．bca解析：由已知可得a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，所以acb.答案：C4．若α∈7π4，2π，则1＋cos2α2－1－cos2α2等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinαC．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα解析：因为α∈7π4，2π，所以sinα≤0，cosα0，则1＋cos2α2－1－cos2α2＝cos2α－sin2α＝|cosα|－|sinα|＝cosα－(－sinα)＝cosα＋sinα.答案：B5．已知2sinα＝1＋cosα，则tanα2＝()A.12B.12或不存在C．2D．2或不存在解析：由2sinα＝1＋cosα，即4sinα2cosα2＝2cos2α2，当cosα2＝0时，则tanα2不存在，-10-当cosα2≠0时，则tanα2＝12.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________.解析：cos22