2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版

-1-3.1.1倾斜角与斜率知识导图学法指导1.倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．2．求直线斜率的方法有：定义法、公式法等．3．用正切函数(k＝tanα)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记．4．由两点坐标计算直线的斜率，为求直线的方程奠定基础．高考导航1.已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合，各种题型均有出现，分值4～6分.知识点一直线的倾斜角1．直线l的倾斜角的概念一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．2．倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．1.倾斜角定义中含有三个条件：-2-①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．2．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．知识点二直线的斜率1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．2．记法：斜率常用k表示，即k＝tan_α.3．斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角α＝0°0°α90°α＝90°90°α180°斜率0k0不存在k04.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1.直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．[2019·山东省枣庄市校级月考]给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数-3-条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误，⑤中α有可能为135°，故⑤错误．答案：A3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.33B.3C．1D.22解析：由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝33.答案：A4．[2019·泰州校级月考]经过点(0,2)和点(3,0)的直线的斜率为()A.23B.32C．－23D．－32解析：斜率k＝0－23－0＝－23.答案：C类型一求直线的倾斜角例1求图中各直线的倾斜角．【解析】(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.-4-求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围．方法归纳根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0°、锐角、直角和钝角四类．跟踪训练1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D.答案：D条件中未指明α的范围，画出图形考虑到倾斜角的范围，对α分类讨论．类型二直线的斜率例2(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．【解析】(1)直线的斜率分别为k1＝tan60°＝3，k2＝tan135°＝－1；(2)直线AB的斜率kAB＝1－2－4－3＝17；直线BC的斜率kBC＝－1－104＝－24＝－12；-5-直线AC的斜率kAC＝213－0＝33＝1.(3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝4－3m－2＝1m－2.1．利用k＝tanα求斜率．2．当x1≠x2时，利用k＝y2－y1x2－x1求斜率．方法归纳(1)求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即k＝tanα求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得．(2)使用斜率公式k＝y2－y1x2－x1求斜率时，要注意其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．(3)利用斜率公式k＝y2－y1x2－x1时，如果两点的横坐标中含有参数，则应讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．,跟踪训练2已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．解析：kAB＝1－111＝0，kAC＝－1－111＝－1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．类型三直线的倾斜角、斜率的综合应用例3已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l过点P(3,3)且与线段MN相交，试求l的斜率k的取值范围．【解析】过点P且与线段MN相交的直线，必在PM与PN之间(含直线PM、PN)．因为kPN＝3233＝56，kPM＝333－2＝6，且在过P点且与线段MN相交的直线中，不含垂直于x轴的直线，所以直线l的斜率k的取值范围为56≤k≤6.利用斜率公式找到临界条件，建立等量关系式，然后确定斜率k的取值范围．-6-方法归纳已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解．跟踪训练3已知经过两点A(5，m)和B(m,8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．解析：由题意得8－mm－51，∴8－mm－5－10，∴8－m－m＋5m－50，即2m－13m－50，∴5m132.故m的取值范围为5，132.直接依据斜率公式建立不等式，然后求解不等式，即可得到所求的结果.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在解析：由题意可得AB的斜率为k＝2－41－0＝－2.答案：B2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,1)与(－4，－1)B．(0,1)与(1,0)C．(1,4)与(－1,4)D．(－4,1)与(－4，－1)解析：选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．答案：D3．[2019·孝感检测]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()-7-A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°α180°.答案：C4．直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A．1B.3C.233D．－3解析：∵tanα＝33，0°≤α180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝3.故选B.答案：B5．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：∵kMN＝m－4－2－m＝1，∴m＝1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若直线l的斜率k的取值范围是0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0≤k33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α30°.答案：[0°，30°)7．已知A(2，－3)，B(4,3)，C5，m2三点在同一条直线上，则实数m的值为________．解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即334－2＝m235－2，解得m＝12.答案：12-8-8．若ab0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．解析：kPQ＝－1b－00－1a＝ab0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.答案：π2，π三、解答题(每小题10分，共20分)9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解析：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝5－34－2＝1，即tanα＝1，又0°≤α180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率kCD＝－1－322＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.10．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2，求直线l1的斜率．解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直线l1的斜率为k＝tan30°＝33.[能力提升](20分钟，40分)11．给出下列说法：-9-①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：显然①②③正确，④错误．答案：C12．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1－a≠3，即a≠－2.且1＋a2a1－a30，整理得a－1a＋20，①当a＋20时，a－10.解得－2a1.②当a＋20时，a－10，此时无解．综上可得－2a1.答案：(－2,1)13．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l的斜率的取值范围．解析：当α＝90°时，l的斜率不存在；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.当45°≤α＜90°时，k＝tanα∈[1，＋∞)；当90°＜α≤135°时，k＝tanα∈(－∞，－1]．∴斜率k∈(－∞，－