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-1-4.1.2圆的一般方程知识导图学法指导1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.知识点一圆的一般方程1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F0时，该方程叫作圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径长为D2＋E2－4F2.知识点二求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．求轨迹方程的一般步骤为：-2-圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．()答案：(1)×(2)√2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．答案：D3．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，-3-则1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－433，F＝1.∴△ABC外接圆的圆心为1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为12＋2332＝213.答案：B4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．解析：由题意得2a2－4a0，∴a2－2a0，∴a0或a2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)类型一圆的一般方程的概念辨析例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.【解析】二元二次方程只有能转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0且D2＋E2－4F0才表示圆．(1)因为x2与y2项的系数不相等，所以不能表示圆．(2)因为方程中含有xy项，所以不能表示圆．(3)因为(－2)2＋(－4)2－4×100，所以不能表示圆．(4)2x2＋2y2－4x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，故方程表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆.判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0能否表示圆可按如下步骤进行：①判断A，C是否相等且不等于0，B是否等于0；②若满足A＝C≠0，B＝0，则判断D2＋E2－4F是否大于0，或将方程左端配方，然后与圆的标准方程进行对比，作出判断．方法归纳形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：-4-①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－30，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a20，∴该方程表示圆，它的圆心为－a2，a2，半径r＝12D2＋E2－4F＝22|a|.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是不是大于零的常数．类型二待定系数法求圆的方程例2已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程．【解析】方法一设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，由题意可得－D＋5E＋F＋26＝0，－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.方法二由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，由x＝2，x＋y－3＝0，解得x＝2，y＝1.所以圆心P的坐标为(2,1)．外接圆的半径长r＝|AP|＝2＋121－52＝5，故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.方法一是待定系数法，应用起来很方便，计算略微复杂，方法二是根据圆的几何性质解题，需要细心分析，技巧性较强．求圆的方程时常用的几何性质有：①圆的弦的垂直平分线过圆心；②圆的半径r，半弦长h，弦心距d满足r2＝h2＋d2.-5-方法归纳待定系数法求圆的一般方程的步骤用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：跟踪训练2求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，∴F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，解得D＝－8，E＝6，F＝0.∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－D2＝4，－E2＝－3，圆心为(4，－3)，半径r＝12D2＋E2－4F＝5.设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径长，即可得圆的方程．类型三轨迹问题例3已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，-6-设O为坐标原点，连接ON，OP，BN，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.整理得x2＋y2－x－y－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，然后运用已知条件代入已知点满足的关系式进行求解．方法归纳1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．2．求曲线的轨迹方程要注意的三点(1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法．(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)．(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．跟踪训练3已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．解析：设动点P的坐标为(x，y)．当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1,0)，(1,2)，符合题意，此时x＝1；当点P在原点，或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，此时x＝0；当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，∵kAP＝y－2x－1，kOP＝yx，∴y－2x－1·yx＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．经检验，点(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2)也适合上式．综上所述，点P的轨迹是以12，1为圆心，52为半径长的圆.画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP⊥OP建立关系求解．解题时，注意对点P的特殊位置的讨论．-7-4.1.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是()A．(－∞，5)B.－∞，54C.－∞，32D.32，＋∞解析：由(－2)2＋12－4k0，得k54.答案：B2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，∴圆心为C(－1,0)．又所求直线与直线x＋y＝0垂直，∴所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.答案：A3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，则x2－4＝0，y2－4＝0，即x2＝4，y2＝4，解得x＝2，y＝2或x＝－2，y＝2或x＝2，y＝－2或x＝－2，y＝－2.所以方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．-8-答案：B4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()A．8B．－4C．6D．无法确定解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m＝6.答案：C5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A．－2或2B.12或32C．2或0D．－2或0解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d＝|1－2＋a|2＝22，所以a＝2或0，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．解析：本题主要考查圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝17．若l是经过点P(－1,0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．解析：圆心C(－2,1)，则直线l的斜率k＝1－0－2＋1＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1.答案：－18．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且