2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3.1 并集与交集学案（含解析）新人

-1-第1课时并集与交集知识点一并集自然语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”)图形语言知识点二交集自然语言一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．()(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．()(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．-2-答案：B3．设集合A＝{x|(x－1)(x－3)0}，B＝{x|2x－30}，则A∩B＝()A.－3，－32B.－3，32C.1，32D.32，3解析：∵(x－1)(x－3)0，∴1x3，∴A＝{x|1x3}．∵2x－30，∴x32，∴B＝xx32.∴A∩B＝{x|1x3}∩xx32＝x32x3.故选D.答案：D4.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.答案：C类型一并集概念及简单应用例1(1)设集合A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},则A∪B＝()A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4}D．{1,3,4}(2)已知集合P＝{x|－1x1}，Q＝{x|0x2}，那么P∪Q＝()A．{x|－1x2}B．{x|0x1}C．{x|－1x0}D．{x|1x2}(3)点集A＝{(x，y)|x0}，B＝{(x，y)|y0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)由题意A∪B＝{1,2,3,4}．(2)因为P＝{x|－1x1}，Q＝{x|0x2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1x2}．(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．-3-【答案】(1)A(2)A(3)A(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B.(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.(3)先明确集合A，B都是点集，再判断A∪B中的元素的特征．方法归纳此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．,跟踪训练1(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N＝()A．{x|x－5或x－3}B．{x|－5x5}C．{x|－3x5}D．{x|x－3或x5}解析：(1)先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示．则M∪N＝{x|x－5或x－3}．答案：(1)D(2)A,先解方程，求出集合M，N.求M∪N时要注意两点：(1)把集合M，N的元素放在一起；(2)使M，N的公共元素在并集中只出现一次．类型二交集概念及简单应用例2(1)已知集合A＝{x|x2}，B＝{x|3－2x0}，则()A．A∩B＝xx32B．A∩B＝∅-4-C．A∪B＝xx32D．A∪B＝R(2)已知集合U＝R，集合M＝{x|－2≤x2}和N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．0个(3)已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2x0}，若M∩N＝∅，则a的取值范围为()A．a0B．a≥0C．a－2D．a≤－2,【解析】(1)由3－2x0，得x32，所以B＝xx32，又因为A＝{x|x2}，所以A∩B＝xx32，A∪B＝{x|x2}．(2)由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N，由N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇数集合，又由M＝{x|－2≤x2}得，在－2≤x2内的奇数为－1,1.所以M∩N＝{－1,1}，共有2个元素．(3)画数轴可知，当M∩N＝∅时，a的取值范围是{a|a≤－2}．【答案】(1)A(2)B(3)D(1)先解不等式确定集合B，再根据交集、并集的定义分别确定A∩B和A∪B.(2)先判断集合N中元素的特征，再判断Venn图中阴影部分表示的集合M∩N，最后求元素个数．(3)画数轴，根据M∩N＝∅，求a的取值范围．方法归纳(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．-5-(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．,跟踪训练2(1)若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________，P∪M＝________；(2)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x－2或x5}，则M∪N＝________，M∩N＝________；(3)已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈Z}，集合N＝{y|y＝－x2－2x，x∈Z}，求M∩N.解析：(1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}，P∪M＝{－1,1,3}．(2)借助数轴可知：M∪N＝{x|x－5}，M∩N＝{x|－3x－2}．(3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z，∴M＝{－1,0,3,8,15，…}．又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z，∴N＝{1,0，－3，－8，－15，…}，∴M∩N＝{0}．答案：(1){－1}{－1,1,3}(2){x|x－5}{x|－3x－2}(3){0}先求出集合P、M，再求P∩M,P∪M.集合M，N是函数的值域．类型三交集、并集性质的运用例3已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.-6-综上知，a＝－2.审结论(明解题方向)审条件(挖解题信息)求a的值，需建立关于a的方程(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.(2)由∅，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．建关系——找解题突破口∅，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.方法归纳(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．(2)利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化．注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．跟踪训练3已知集合A＝{x|x－1或x4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解析：①当B＝∅时，只需2aa＋3，即a3；②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a＋3≥2a，a＋3－1或a＋3≥2a，2a4，解得a－4或2a≤3.综上可得，实数a的取值范围为{a|a－4或a2}．,由A∩B＝B得B⊆A，B分2类，B＝∅，B≠∅，再利用数轴求.-7-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－5}B．{x|x≤2}C．{x|－3x≤2}D．{x|－5≤x≤2}解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．答案A2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N*}，则M∩N＝()A．{0}B．{1,2}C．{1}D．{2}解析：因为N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1}．答案：C3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|2x－y＝－4}，则A∩B等于()A．{x＝－1，y＝2}B．(－1,2)C．{－1,2}D．{(－1,2)}解析：由x＋y＝1，2x－y＝－4得x＝－1，y＝2.所以A∩B＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}＝{x|－1x2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a2B．a－2C．a－1D．－1a≤2解析：在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)-8-6．设集合A＝{x|2≤x5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x|2≤x5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x5}．答案：{x|3≤x5}7．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：38．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：{a|a≤1}三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A＝{x|－1x2}，B＝{x|1x3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1x2}∪{x|1x3}＝{x|－1x3}．A∩B＝{x|－1x2}∩{x|1x3}＝{x|1x2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的