2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3.2 补集及综合应用学案（含解析）

-1-第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．2．补集∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集一定包含任何元素．()(2)同一个集合在不同的全集中补集不同．()(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．()答案：(1)×(2)√(3)√2．设U＝R，A＝{x|x0}，B＝{x|x1}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|0≤x1}B．{x|0x≤1}-2-C．{x|x0}D．{x|x1}解析：画出数轴，如图所示．∁UB＝{x|x≤1}，则A∩(∁UB)＝{x|0x≤1}．答案：B3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2解析：由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，则a＝2.答案：D4．设全集U＝R，M＝{x|x－2，或x2}，N＝{x|1x3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1x≤2}D．{x|x2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁UM)＝{x|1x≤2}．答案：C-3-类型一补集的运算例1(1)已知U＝R，集合A＝{x|x－2或x2}，则∁UA＝()A．{x|－2x2}B．{x|x－2或x2}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|x≤－2或x≥2}(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有()A．M⊆∁UNB．M∁UNC．∁UM＝∁UND．M⊆N(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.【解析】(1)观察数轴可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}．(2)依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁UN.(3)因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．【答案】(1)C(2)A(3)见解析(1)画出数轴表示集合A，根据补集的定义写出∁UA.(2)画出Venn图，逐个选项分析判断．(3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．方法归纳求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：-4-①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．,跟踪训练1(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2x≤5}，则∁UA＝________；(2)已知U＝{x|－5≤x－2或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________.解析：(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分，故∁UA＝{x|x≤2或x5}．(2)在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又因为A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．答案：(1){x|x≤2或x5}(2){－5，－4,3,4}{－5，－4,5}(1)借助数轴求补集更直观．(2)先表示出全集U、集合A，再求补集．类型二集合交、并、补的综合运算例2(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6)，集合B＝{1,3,4,6,7)，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0，或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．,【解析】(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1，-5-或x3}．又P＝xx≤0，或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0，或x≥52.又∁UP＝x0x52，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．【答案】(1)A(2)见解析(1)先求∁UB，再求A∩∁UB.(2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2x3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3x≤－2或x＝3}．借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．类型三补集思想的应用-6-例3已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【解析】先求A∩B＝∅时m的取值范围．(1)当A＝∅时，①方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则42－42m＋60，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0，③即m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1，综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U＝R，④所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m－3}．所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m－3}．①A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况.A＝∅表示方程无实根．②B＝{x|x0}，而A∩B＝∅，故，即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负.如果两根都大于1，则等价形式为x1－1x2－10，x1－1x2－10，而不是x1＋x22，x1x21.④由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m－3}，结果相同．-7-方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．跟踪训练3设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.,根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA等于()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7}D．{2,5,7}解析：由题意知∁UA＝{2,4,7}，选C.答案：C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于()-8-A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0x1}．故选D.答案：D3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．A∩BB．A∪BC．B∩(∁UA)D．A∩(∁UB)解析：由Venn图可知阴影部分为B∩(∁UA)．答案：C4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论中正确的是()A．3∉A,3∉BB．3∉A,3∈BC．3∈A,3∉BD．3∈A,3∈B解析：由Venn图可知，3∈A,3∉B，故选C.答案：C5．设集合M＝{x|－1≤x2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是()A．k≤2B．k≥－1C．k－1D．k≥2解析：由(∁RM)⊇(∁RN)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁UA)∪(∁UB)＝________.解析：依题意得知，∁UA＝{c，d}，∁UB＝{a}，(∁UA)∪(∁UB)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.-9-解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}．∴A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x3或x4}，则ab＝________.解析：因为A∪(∁UA)＝R，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁UB)．解析：(1)因为A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}∩{x|0x≤3}＝{x|0x2}．(2)A∪B＝{x|－1x2}∪{x|0x≤3}＝{x|－1x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x3}．(3)A∩(∁UB)＝{x|－1x2}∩{x|x3或x≤0}＝{x|－1x≤0}．10．已知集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，C＝{x|xa}．(1)求(∁RA)∩B；(2)若A⊆C，求a的取值范围．解析：(1)因为A＝{x|3≤x7}，所以∁RA＝{x|x3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．(2)因为C＝{x|xa}，且A⊆C，如图所示，所以a≥7，所以a的取值范围是{a|a≥7}．-10-[能力提升](20分钟，40分)11．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅解析：由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3