2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数与映射学案（含解析）

-1-第2课时分段函数与映射知识点一分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0x≤3，其“段”是不等长的．知识点二映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．,映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．()(2)分段函数由几个函数构成．()(3)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1是分段函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知函数f(x)＝1x＋1，x－1，x－1，x1，则f(2)等于()-2-A．0B.13C．1D．2解析：f(2)＝2－1＝1.答案：C3．若f(x)＝x，x≥0，－x，x0且f(x)＝1，则x＝()A．1B．－1C．±1D．0解析：当x≥0时，f(x)＝1⇒x＝1，当x0时，f(x)＝1⇒－x＝1，即x＝－1.答案：C4．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于()A．{－1,2,3}B．{－1,0,2}C．{0,2,3}D．{0,1,2}解析：由映射的概念，A中元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．答案：C类型一求分段函数的函数值,,例1(1)设f(x)＝|x－1|－2|x|≤111＋x2|x|1则ff12＝()A.12B.413C．－95D.2541(2)已知f(n)＝n－3，n≥10，ffn＋5n10，则f(8)＝________.【解析】(1)∵f12＝12－1－2＝－32，∴ff12＝f－32＝11＋94＝413，故选B.(2)因为810，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．因为1310，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.【答案】(1)B(2)7-3-判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练1已知f(x)＝x＋1x0πx＝00x0求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．解析：∵－10，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．类型二分段函数的图象及应用例2(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；(2)已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．【解析】(1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域-4-为[－1,1)．(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2x0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.∴f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2x0.②函数f(x)的图象如图所示．③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．【答案】(1)[－1,2][－1,1)(2)见解析观察图象，求出定义域，值域．去绝对值，分－2x≤0与0x≤2两类．方法归纳分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪训练2函数y＝x2|x|的图象的大致形状是()-5-解析：因为y＝x2|x|＝x，x0，－x，x0，所以函数的图象为选项A.答案：A方法一去绝对值，化为分段函数，画出函数图象．方法二通过函数图象过的特殊点，如(1,1)，(－1,1)进行检验．类型三映射的概念例3判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝12x.【解析】(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝12x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义.依据映射的概念逐一判断．方法归纳判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯一的．-6-[注意]“一对一”或“多对一”的对应都是映射．跟踪训练3(1)下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是()A．A＝R，B＝{y|y0}，f：x→y＝|x|B．A＝{x|x≥0}，B＝{x|y0}，f：x→y＝xC．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2(2)给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下(4,3)的原象为()A．(2,1)B．(4,3)C．(3,4)D．(10,5)解析：(1)A中当x＝0时，y＝0∉B，同理B错．C中，当x＝1时，y＝0∉B，故C不正确；由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故D正确．(2)由题意知x＋2y＝4，2x－y＝3，解得x＝2，y＝1.∴映射f下(4,3)的原象为(2,1)．答案：(1)D(2)A利用对应法则．f(x，y)→(x＋2y，2x－y)[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是()①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.答案：B2．已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0，且f(a)＋f(1)＝0，则a等于()A．－3B．－1-7-C．1D．3解析：当a0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．答案：A3．函数y＝x＋|x|x的图象是()解析：y＝x＋|x|x＝x＋1，x0，x－1，x0.答案：D4．下列各对应中，构成映射的是()解析：选项A，C中集合A中的元素1，在集合B中有2个元素与之对应；选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D项符合映射的定义．故选D.答案：D5．已知函数y＝x2＋1，x≤0，－2x，x0，则使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－52C．2或－2D．2或－2或－52解析：当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x0时，－2x0，不合题意．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f(x)＝2x，x0，x2－2，x≤0，则f(1)＋f(－1)＝________.解析：因为10，所以f(1)＝2×1＝2；因为－10，所以f(－1)＝(－1)2－2＝－1.故f(1)＋f(－1)＝2＋(－1)＝1.-8-答案：17．已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－12x，故f(x)的解析式为f(x)＝x＋1，－1≤x≤0，－12x，0x≤2.答案：f(x)＝x＋1，－1≤x≤0，－12x，0x≤2.8．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝1＋1x，x1，x2＋1，－1≤x≤1，2x＋3，x－1.(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝32，求a.解析：(1)∵－2－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋12＝32.(2)当a1时，f(a)＝1＋1a＝32，∴a＝21；当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝32，∴a＝±22∈[－1,1]；-9-当a－1时，f(a)＝2a＋3＝32，∴a＝－34－1(舍去)．综上，a＝2或a＝±22.10．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→x2x＋1.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素49相对应的A中的元素是什么？解析：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得x2x＋1＝12×1＋1＝13，即与A中元素1相对应的B中的元素是13.(2)B中元素49，即x2x＋1＝49，解得x＝4，因此与B中元素49相对应的A中的元素是4.[能力提升](20分钟，40分)11．a，b为实数，集合M＝ba，1，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝()A．－2B．0C．2D．±2解析：由题意知M中元素ba只能对应0,1只能对应a，所以2ba＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C.答案：C12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．解析：根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．答案：313．画出下列函数的图象：(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；(2)f(x)＝|x＋2|.-10-解析：(1)f(x)＝[x]＝…－2，－2≤x－1，－1，－1≤x0，0，0≤x1，1，1≤x2，2，2≤x3，…函数图象如图1所示．图1图2(2)f(x)＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2，－x－2，x－2.画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．14．已知函数f(x)＝