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-1-1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念bb2.奇函数、偶函数的性质cc知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点-2-为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2B．2C．0D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)-3-类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝x－1，x0，0，x＝0，x＋1，x0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝－x－1，－x0，0，－x＝0，－x＋1，－x0，即f(－x)＝x＋1x0，0，x＝0，x－1x0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：-4-(1)f(x)＝x2(x2＋2);(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝x＋1，x0，－x＋1，x0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x0时，－x0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为{x|－2x0或2x≤5}．【答案】{x|－2x0或2x≤5}-5-根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f(1)f(3)．方法二由图象可知f(－1)f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)f(3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三利用函数奇偶性求参数例3(1)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________；(2)已知函数f(x)＝－x2＋x，x0，ax2＋x，x0是奇函数，则a＝________.【解析】(1)方法一(定义法)由已知f(－x)＝－f(x)，-6-即x＋1x＋a－x＝－x＋1x＋ax.显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，即1＋11＋a－1＝－1＋11＋a1，整理得a＝－1.(2)(特值法)由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，整理得a－1＝0，解得a＝1.【答案】(1)－1(2)1利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝23.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－b2a＝0，解得b＝0.(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，-7-所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.即2ax2＝0，所以a＝0.答案：(1)230(2)0(1)函数具有函偶性，定义域必须关于(0,0)对称．(2)f(0)＝0？类型四函数的奇偶性和单调性的综合应用例4已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)，在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)0.【解析】∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＋f(1－3x)0可化为f(1－x)－f(1－3x)，即f(1－x)f(3x－1)．又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，∴f(1－x)f(3x－1)⇔－11－x1，－11－3x1，1－x3x－1⇔0x2，03x2，x12⇔0x2，0x23，x12，∴0x12.即不等式x解集为0，12.(1)由奇函数得f(－x)＝－f(x)．(2)函数单调递减，若f(x1)f(x2)得x1x2.(3)定义域易忽略．方法归纳1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调-8-函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．跟踪训练4(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)0，求实数a的取值范围；(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)f(m)，求实数m的取值范围．解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)0，得f(1－a2)－f(1－a)．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)f(a－1)．又f(x)在[－1,1]上单调递减，∴－1≤1－a2≤1，－1≤1－a≤1，－1≤a－1≤1，1－a2a－1，解得0≤a2≤2，0≤a≤2，－2a1.∴0≤a1.∴a的取值范围是[0,1)．(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．∴原不等式等价于－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，|1－m||m|，解得－1≤m12.∴实数m的取值范围是－1，12.(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．(2)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理.-9-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数是偶函数的是()A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f(x)＝1x－x的图象()A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－1x－(－x)＝x－1x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()解析：选项A中的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除；选项C，D中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B中的函数图象关于y轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－