2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积学案（含解析）新人教

-1-1.3.2球的体积和知识导图学法指导1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积．2．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决．高考导航高考考查球的题型有：(1)计算球的表面积或体积；(2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积．常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值5分.知识点球的表面积与体积公式1.一个关键掌握好球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积-2-的关键，半径与球心是确定球的条件．掌握好公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为：3，则其表面积之比为：9.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()答案：(1)√(2)√2．如果两个球的体积之比为：27，那么两个球的表面积之比为()A．：27B．：3C．：9D．：9解析：43πr3：43πR3＝：27，∴r：R＝：3，∴S1：S2＝：9.答案：C3．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为()A．13B．12C．5D．24解析：如图所示，d＝132－122＝5.答案：C4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π-3-类型一球的体积与表面积例1(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3(2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得43πR3＝32π3，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)设球半径为rcm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×43πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6cm.【答案】(1)B(2)6,利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．-4-方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝43πR3中系数的特征及半径的立方．注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．,跟踪训练1(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的()A．2倍B．22倍C.2倍D．32倍(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为()A.13πB.3πC.3π3πD.33π3π解析：(1)设改变前、后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝2r，V′＝4πr′33＝22×4πr33.(2)S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝3π3π.答案：(1)B(2)C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．类型二球的截面问题例2(1)一平面截一球得到直径为25cm的圆面，球心到这个圆面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3B．36πcm3C．646πcm3D．108πcm3(2)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为________．-5-【解析】(1)设球心为O，截面圆的圆心为O1，如图所示，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1.在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝2252＝3(cm)，∴球的体积V＝43×π×33＝36π(cm3)．(2)如图所示，设以r1为半径，O1为圆心的截面圆的面积为5π，以r2为半径，O2为圆心的截面圆的面积为8π，球的半径为R，OO2＝x，则O1O2＝1.在Rt△OO2A中，OA＝R，OO2＝x，O2A＝r2，则r22＝R2－x2，∴πr22＝π(R2－x2)＝8π，即R2－x2＝8①.在Rt△OO1B中，OB＝R，OO1＝x＋1，O1B＝r1，则r21＝R2－(x＋1)2，∴πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，即R2－(x＋1)2＝5②.由①②得x＝1，R＝3.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】(1)B(2)36π(1)作经过球心和截面圆圆心的轴截面；(2)作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解．方法归纳球的截面问题的解题方法对于球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球的半径R，球心到截面的距离d，截面圆的半径r恰好构成直角三角形，利用三个量之间的关系d2＝R2－r2，可知二求一．跟踪训练2球面上有三个点A，B，C，其中AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为()A．20B．30C．103D．153解析：平面ABC截球所得的截面是一个圆面，A，B，C三点在这个圆面的圆上，∵AB＝-6-18，BC＝24，AC＝30，∴AC2＝AB2＋BC2，∴AC为这个圆的直径．设AC的中点为M，球心为O，球的半径为R，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，在Rt△OMA中，∠OMA＝90°，OM＝12R，MA＝12AC＝12×30＝15，OA＝R，由勾股定理得(12R)2＋152＝R2，解得R＝103.答案：C先证明三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，设AC的中点为M，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，求出MA，找到OM与球半径的关系，利用勾股定理求出球半径即可．,类型三内切球与外接球问题例3已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π【解析】如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝12R2.因为VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO－ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO－ABC最大为13×12R2×R＝36，所以R＝6.所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选C.【答案】C解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系．方法归纳(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点-7-等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．跟踪训练3已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π4解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径R＝1，圆柱的高h＝1，则圆柱上、下底面圆的半径r＝12－122＝32，则圆柱的体积V＝πr2h＝3π4.故选B.答案：B先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积.1.3.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为：3，那么这两个球的表面积之比为()A．：9B．：27C．：3D．：1解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1：r2＝：3，∴S1：S2＝4πr21：4πr22＝r21：r22＝：9.故选A.答案：A-8-2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π解析：球的半径R＝1222＝3，所以球的体积V＝43π×(3)3＝43π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是()A．1B．2C．3D．4解析：设大球半径为R，小球半径为r，所以43πR3＋43πr3＝12π，2πR＋2πr＝6π，得R＝2r＝1，所以R－r＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.答案：C5．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为()A．44B．54C．88D．108解析：由题意知，球的半径R＝336π，故球的体积为43πR3＝43π·36π＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为________．-9-解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·|PA|＝13×34×22×3＝3.答案：37．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.解析：设大铁球的半径为Rcm，由43πR3＝43π×623＋43π×823＋43π×1023，得R3＝216，得R＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝(R－1)cm，则(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为：：9，求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为：：9，∴4πR21：4πR22：4πR23＝：：9，即R21：R22：R23＝：：9，∴R1：R2：R3＝：：3，∴V1：V2：V3＝43πR31：43πR32：43πR33＝R31：R32：R33＝：：27.10．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．-10-解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝33AB＝3cm.设球的半径为R，则OO′＝12R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝OA2－OO′2＝R2－14R2＝32R，所以R＝2cm.所以V球＝43πR3＝323π(cm3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π4解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝12－122＝32