2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 诱导公式（二）学案（含解析）新人教A版

-1-第2课时诱导公式(二)诱导公式五、六状元随笔(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点是P′(－y0，－x0)．()(2)诱导公式五、六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．()答案：(1)×(2)√2．化简：sin20172π＋x＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx解析：sin20172π＋x＝sin1008π＋π2＋x＝sinπ2＋x＝cosx答案：B3．已知sinθ＝15，则cos(450°＋θ)的值是()-2-A.15B．－15C．－265D.265解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－15.答案：B4．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：0类型一利用诱导公式求值例1(1)已知πα2π，cos(α－9π)＝－35，则cosα－11π2的值为()A.35B．－35C．－45D.45(2)已知sinα＋π3＝13，则cosπ6－α＝()A．－13B.13C.233D．－233【解析】(1)由cos(α－9π)＝－cosα＝－35，所以cosα＝35，因为α∈(π，2π)，所以sinα＝－1－cos2α＝－45，cosα－11π2＝－sinα＝45.(2)因为sinα＋π3＝13，所以cosπ6－α＝cos[π2－α＋π3]＝sinα＋π3＝13.【答案】(1)D(2)B(1)化简已知可得cosα，化简要求的函数可知需要求出sinα.(2)α＋π3＋π6－α＝π2.-3-方法归纳利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如π4±α，π6＋α与π3－α的关系．跟踪训练1若cos(π＋α)＝－105，且α∈－π2，0，则tan3π2＋α＝__________.解析：因为cos(π＋α)＝－105，所以cosα＝105，因为α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－155，所以tan3π2＋α＝tanπ＋π2＋α＝tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝105155＝1015＝63.答案：63由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα.tan3π2＋α可化为sinα，cosα的关系．类型二利用诱导公式证明恒等式例2求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2.【证明】右边＝－2sin3π2－θsin11－2sin2θ-4-＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cos2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立.等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.跟踪训练2求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．类型三诱导公式的综合应用例3已知f(α)＝sin3cos2sin－α＋3π2cossin.(1)化简f(α)；-5-(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝sin3cos2sin－α＋3π2cossin＝sincoscoscossinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，又cosα－3π2＝cosα＋π2＝－sinα，即sinα＝－15，而α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.(3)α＝－313π时，f(α)＝－cosα＝－cos－31π3＝－cos－10π－π3＝－cosπ3＝－12.首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Pa，35，求sinπ2＋α＋2sinπ2－α2cos3π2－α的值．解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Pa，35，所以a2＋925＝1(a0)，所以a＝－45，所以sinα＝35，cosα＝－45，-6-所以原式＝cosα＋2cosα－2sinα＝－32·cosαsinα＝－32×－4535＝2.首先注意α的范围．求出α的范围与值再利用诱导公式求值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.答案：B2．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A．－12B.12C．－32D.32解析：cos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.答案：B3．下列式子与sinθ－π2相等的是()-7-A．sinπ2＋θB．cosπ2＋θC．cos32π－θD．sin32π＋θ解析：因为sinθ－π2＝－sinπ2－θ＝－cosθ，对于A，sinπ2＋θ＝cosθ；对于B，cosπ2＋θ＝－sinθ；对于C，cos3π2－θ＝cosπ＋π2－θ＝－cosπ2－θ＝－sinθ；对于D，sin3π2＋θ＝sinπ＋π2＋θ＝－sinπ2＋θ＝－cosθ.答案：D4．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cossinπ2＋θ－sin等于()A．2B．－2C．0D.23解析：sinπ2＋θ－cossinπ2＋θ－sin＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．cosA＋C2＝sinBD．sinB＋C2＝cosA2解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，故A，B错；-8-∵A＋C＝π－B，∴A＋C2＝π－B2，∴cosA＋C2＝cosπ2－B2＝sinB2，故C错；∵B＋C＝π－A，∴sinB＋C2＝sinπ2－A2＝cosA2，故D对．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．若cosα＝－513，且α是第三象限角，则cosα＋5π2＝________.解析：因为cosα＝－513，且α是第三象限角，所以sinα＝－1213，cosα＋5π2＝cosα＋π2＝－sinα＝1213.答案：12137．求tan2cos3π2－αcos6sinα＋3π2cosα＋3π2＝________.解析：原式＝tansincoscossinα＝－tansincosα－cosα·sinα＝－tanα.答案：－tanα8．已知cosα＝13，则sinα－π2·cos3π2＋αtan(π－α)＝________.解析：sinα－π2cos3π2＋αtan(π－α)＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α＝1－132＝89.答案：89三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知cosπ6－α＝23，求下列各式的值：(1)sinπ3＋α；(2)sinα－2π3-9-解析：(1)sinπ3＋α＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α＝23.(2)sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.10．化简：(1)cossin·sinα－π2cosπ2＋α；(2)sin(－α－5π)cosα－π2－sin3π2＋αcos(α－2π)．解析：(1)原式＝cos[]sinα·sin－π2－α(－sinα)＝cossinα·－sinπ2－α(－sinα)＝－cosαsinα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos－π2－α＋cosαcos[－(2π－α)]＝sin[－(α＋π)]cosπ2－α＋cosαcos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.[能力提升](20分钟，40分)11．已知cosπ12－θ＝13，则sin5π12＋θ的值是()A.13B.223-10-C．－13D．－223解析：sin5π12＋θ＝sinπ2－π12－θ＝cosπ12－θ＝13.答案：A12．已知sinπ2＋α＝13，且α∈(－π，0)，则tan(α－π)＝_____