2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案（含解析）新人教

-1-1.6三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用cc知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点-2-(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．()(2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．()(3)若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是[－1,1]．()(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－54π＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]解析：由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin2t＋π6，s2＝5cos2t－π3.则在时间t＝2π3时，s1与s2的大小关系是()-3-A．s1s2B．s1s2C．s1＝s2D．不能确定解析：当t＝2π3时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.答案：C4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.答案：C类型一三角函数在物理中的应用例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin2t＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm处．(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s.当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.-4-(3)T＝2π2＝π，即经过约πs小球往返振动一次．(4)f＝1T＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t＝0解令h＝±3解问题即求周期T→问题即求频率的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解析：列表如下，t－π6π12π37π125π62t＋π30π2π3π22πsin2t＋π3010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin2t＋π3，得s＝4sinπ3＝23，所以小球开始振动时的位移是-5-23cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．类型二三角函数在实际生活中的应用例2已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)依题意，得T＝12，A＝ymax－ymin2＝0.5，b＝ymax＋ymin2＝1，所以ω＝2π12＝π6，故y＝12cosπ6t＋1.(2)令y＝12cosπ6t＋11，则2kπ－π2π6t2kπ＋π2(k∈Z)，所以12k－3t12k＋3(k∈Z)，又因为8t20，所以令k＝1，可得9t15,所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间．方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤-6-跟踪训练2如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y＝40.5－40cosπ6t(t≥0)．(2)令y＝40.5－40cosπ6t＝60.5，得cosπ6t＝－12，所以π6t＝23π或π6t＝43π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式．(2)利用y＝60.5解t.类型三根据数据拟合函数例3某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】(1)由已知数据，描出曲线如图：-7-易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝3sinπ6t＋10.(0≤t≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y≥11.5，得3sinπ6t＋10≥11.5，∴sinπ6t≥12.①∵0≤t≤24，∴0≤π6t≤4π.②由①②得π6≤π6t≤5π6或13π6≤π6t≤17π6.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时.由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一-8-天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为12，函数解析式为y＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．(2)因为y1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝12cosπ6t＋11，cosπ6t0,2kπ－π2π6t2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3t12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24.所以0≤t3或9t15或21t≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9t15.根据表格，确立y＝Acosωt＋b的模型，求出A，T，b，推出ω，利用t＝0时，y为1.5，t＝3，y＝1.0，求出b，即可求出拟合模型的解析式．1.6[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A.150B．50C.1100D．100解析：T＝2π100π＝150.答案：A-9-2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x12y100009500则此楼群在第3季度的平均单价大约是()A．10000元B．9500