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-1-第3讲空间中的角和距离选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B异面直线所成角1,2,8,101,5,12,16直线与平面所成角5,152,3,4,7,12,14,17二面角3,7,11,13,14,166,8,9,13,15,17空间距离4,6,9,1210,11,17巩固提高A一、选择题1.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(A)(A)(B)-(C)(D)-解析:由题意,可补形成正方体如图.所以异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角,而△BDE为等边三角形,所以所成角为,cos=.故选A.2.在正四面体ABCD中,E为AB的中点,则CE与BD所成角的余弦值为(A)-2-(A)(B)(C)(D)解析:如图,取AD中点F,连接EF,CF,因为E为AB的中点,所以EF∥BD,则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,因为ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,所以CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF==a.在△CEF中,由余弦定理得cos∠CEF===.故选A.3.(2018·杭州二模)已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形,SASBSC,平面SBC,SCA,SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1,α2,α3则(A)(A)α1α2(B)α1α2(C)α2α3(D)α2α3解析:由题意,设三角形SBC,SCA的高分别为h1,h2,三棱锥S-ABC的高为h,易知h1h2,根据正弦函数的定义得,sinα1=,sinα2=,所以sinα1sinα2,又α1,α2均为锐角,所以α1α2,故选A.4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1中心,则O到平面ABC1D1的距离是(A)-3-(A)(B)(C)(D)解析:法一过O作A1B1的平行线,交B1C1于E,则O到平面ABC1D1的距离为E到平面ABC1D1的距离.作EF⊥BC1于F,易证明EF⊥平面ABC1D1,连接B1C,可求得EF=B1C=.故选A.法二因为O是A1C1的中点且C1∈平面ABC1D1,所以点O到平面ABC1D1距离为点A1到平面ABC1D1距离的一半,过A1作A1G⊥AD1于G,(图略),由正方体性质得A1G⊥平面ABC1D1,在等腰Rt△A1AD中,A1G=A1D=,所以A1到平面ABC1D1距离为,所以O到平面ABC1D1距离为.故选A.5.如图,三棱锥PABC中,△ABC为边长为3的等边三角形,D是线段AB的中点,DE∩PB=E,且DE⊥AB,PA=,PB=,则PA与平面CDE所成角的正切值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由勾股定理PA2+PB2=AB2⇒PA⊥PB,过P作PM⊥AB于M,由⇒AB⊥平面DCE,所以∠APM为PA与平面CDE所成的角,在直角三角形APB中,∠APM=∠PBA,-4-tan∠APM=tan∠PBA==.故选A.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在正方体表面运动,如果=,那么这样的点P共有(C)(A)2个(B)4个(C)6个(D)无数个解析:设点A到直线BD1的距离为d,则满足题意的点位于以BD1为轴,以d为半径的圆柱上,即满足题意的点为圆柱与正方体的交点,设正方体棱长为1,则由=,得××1=××d得d=,在正方体内易证BD1⊥平面A1C1D,BD1⊥平面ACB1,记两个垂足分别为M,N,如图(1),则M,N分别为等边△A1C1D与等边△ACB1的中心,这两个三角形的六个顶点到对角线BD1的距离都相等,在对角面BB1D1D中,如图(2).BD1=,D1M=,所以DM==,所以正方体的六个顶点D,A,C,A1,B1,C1到对角线BD1距离都为,这又是正方体上到对角线BD1-5-距离最远的点.由此得满足条件的点P有6个.故选C.7.(2018·新高考研究联盟第三次联考)在平面α内,已知AB⊥BC,过直线AB,BC分别作平面β,γ,使锐二面角α-AB-β为,锐二面角α-BC-γ为,则平面β与平面γ所成的锐二面角的余弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:cosθ=cos60°cos60°=,也可以构造一个三棱锥来解决,故选A.二、填空题8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD1与BD所成角的大小是.解析:如图所示,连接BC1,DC1,由正方体的性质可得,∠DBC1即为所求,且△DBC1为等边三角形,则直线AD1与BD所成角的大小是60°.答案:60°9.长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,高为2,则顶点A1到截面AB1D1的距离为.解析:由题意可得:AD1=AB1==2,B1D1==4,据此可得=×4×=4,设顶点A1到截面AB1D1的距离为h,-6-对三棱锥A1-AB1D1由等体积法得=,即×4×h=×(×4×4)×2,解得h=.答案:10.正三棱锥P-ABC中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论:①二面角B-PA-C的取值范围是(,π);②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为;③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条;④若二面角BPAC为,则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条.正确的序号是.解析:根据题意,由于正三棱锥PABC中,CM=2PM,CN=2NB,那么对于①当PA→+∞时二面角趋近于,当P无限接近于△ABC外心时,趋近于π,二面角B-PA-C的取值范围是(,π);成立.②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为;成立.③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条;不成立.④若二面角BPAC为,则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条;成立.答案:①②④-7-11.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1,则二面角C1-BD-C的正切值为.解析:设正方体棱长为a,取BD中点O,连接CO,C1O,因为CD=CB=a,C1B=C1D=a,所以CO⊥BD,C1O⊥BD,所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角,因为CC1=a,CO=a,所以tan∠COC1===.所以二面角C1-BD-C的正切值为.答案:12.平面α,β,γ两两垂直且交于一点O,若空间有一点P到这三个平面的距离分别是3,4,12,则点P到点O的距离为.解析:由题意,构造长方体图形,这个长方体过一个顶点的三条棱长分别为3,4,12,所求PO的长度即为体对角线长,所以PO==13.答案:1313.如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C′,E点在线段AC′上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为30°和45°,则=.-8-解析:连接AC交BD于点O,连接OE,OC′(图略),在△OAE中,由正弦定理得:=,所以AE=sin30°=,在△C′OE中,由正弦定理得:=,所以EC′=sin45°=,因为sin∠C′EO=sin∠OEA,所以=.答案:14.正三棱锥V-ABC中,VB=,BC=2,则二面角V-AC-B的大小为.解析:取AC中点为O,连接VO,BO,在正三棱锥VABC中,VB=,BC=2,因为VA=VC=VB=,AB=AC=BC=2,AO=CO=,所以VO⊥AC,BO⊥AC,VO==2,BO==3,所以cos∠VOB==,所以∠VOB=60°.-9-答案:60°15.已知△ABC与平面α,且∠ACB=,CD⊥AB于D,若边AB⊂平面α,边BC,AC与平面α所成的角分别为和,则CD与平面α所成角的大小为.解析:如图,过点C作CE⊥α于E,连DE,则∠CDE即为CD与平面α所成角.连AE,BE,则∠CAE,∠CBE分别为AC,BC与平面α所成的角,即∠CAE=,∠CBE=.设CE=1,则AC=2,BC=,于是AB==.由等面积法得CD===,所以sin∠CDE==,所以∠CDE=.答案:三、解答题16.(2018·北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.-10-(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF.因为AB=BC,所以AC⊥BE,因为BE∩EF=E,所以AC⊥平面BEF.(2)解:由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.如图,建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0),F(0,0,2),G(0,2,1),所以=(-1,-2,0),=(1,-2,1).设平面BCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则即令y0=-1,则x0=2,z0=-4,于是n=(2,-1,-4).-11-又因为平面CC1D的法向量为=(0,2,0),所以cosn,==-.由题知二面角BCDC1为钝角,所以其余弦值为-.(3)证明:由(2)知平面BCD的法向量为n=(2,-1,-4),=(0,2,-1).因为n·=2×0+(-1)×2+(-4)×(-1)=2≠0,所以直线FG与平面BCD相交.巩固提高B一、选择题1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为正方形ABCD的两条对角线的交点,点F是棱AB的中点,则异面直线AC1与EF所成角的正切值为(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:因为点E为正方形ABCD的两条对角线的交点,点F是棱AB的中点,所以EF∥AD,所以∠DAC1就是异面直线AC1与EF所成的角,正切值等于=.故选D.2.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示,若E为线段BC的中点,则直线AE与平面ABD所成角的余弦值为(C)-12-(A)(B)(C)(D)解析:过点E作EF⊥BD,垂足为F,则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角,不妨设正方形的边长为2,则BF=EF=,AB=2,在△ABF中,由余弦定理:AF2=AB2+BF2-2×AB×BF×cos∠ABF=,所以AF=,在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2=3,所以AE=,故cos∠EAF==.故选C.3.如图,二面角α-l-β的大小是45°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,过点A作AC⊥β于C,在β内过C作CD⊥l于D,连接AD,BC,由三垂线定理可知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,为45°,又由已知,∠ABD=30°,则∠ABC为AB与平面β所成的角,设AD=2,则AC=,AB=4,所以sin∠ABC==.故选D.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成30°角的平面的个数为(B)-13-(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个解析:画出图形如图所示,由图可知,正方体表面6个面与A1B所成的角不是30°.符合题意的面为平面AA1C1C,平面A1B1CD,平面ABC1D1和平面BDD1B1,共4个.故选B.5.平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意直线m∥BD,直线n∥A1B,易知△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.6.(2018·嵊州市适应性考试)如图,已知矩形ABCD,E是边AB上的点(不包括端点),且AE=AD,将△ADE沿DE翻折至△A′DE,记二面角A′-BC-D