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-1-第4讲空间中动态问题选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B展开图1,3,98折叠后位置关系2,5,7,11,124,10折叠后数量关系8,141,6,7,11,12,13,14,15轨迹问题4,6,10,132,3,5,9巩固提高A一、选择题1.如图,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中AB与CD的位置关系为(C)(A)平行(B)相交成60°角(C)异面成60°角(D)异面且垂直解析:由图可知还原立体图形如图所示:所以可知AB,CD异面,因为CE平行AB,所以∠DCE为所求角,因为三角形CDE为等边三角形,故∠DCE=60°.故选C.-2-2.如图,等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE翻转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是(D)(A)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上(B)恒有平面A′GF⊥平面BCED(C)三棱锥A′EFD的体积有最大值(D)异面直线A′E与BD不可能垂直解析:由题意知,DE⊥平面A′GF,故选项A,B正确,对于三棱锥A′-EFD体积,其底面△EFD在翻转过程中面积不变,则当A′G⊥底面EFD时,三棱锥A′EFD体积最大,故选项C正确,过E点作AB的垂线,垂足为E′,EE′∩AF=G′,当A′G⊥平面BCED时,EE′是A′E在平面BCED的射影,由三垂线定理易知,此时A′E⊥BD.故选D.3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A)(A)(B)(C)(D)解析:侧面展开图是一个正方形,所以2πr=h,全面积为S1=2πr2+2πrh=2πr2(1+2π),侧面积S2=2πrh=4π2r2.所以=,故选A.4.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,E是AA′的中点,P是三角形BDC′内的动点,EP⊥BC′,则P的轨迹长为(D)(A)(B)(C)(D)-3-解析:先找到一个平面总是保持与BC′垂直,分别取BB′,BC,AD的中点F,H,G.连接EF,FH,EG,GH,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,有BC′⊥平面EFHG,又P是三角形BDC′内的动点,根据平面的基本性质得:点P的轨迹为平面EFG与平面BDC的交线段MN,在直角三角形MNH中,NH=,MH=,所以MN==.故选D.5.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是(C)(A)①②(B)②④(C)①④(D)①③解析:②折叠后N与Q重合,两直线相交;③折叠后两直线平行,因此异面直线是①④故选C6.如图,AB∩α=B,直线AB与平面α所成的角为75°,点A是直线AB上一定点,动直线AP与平面α交于点P,且满足∠PAB=45°,则点P在平面α内的轨迹是(D)(A)双曲线的一支(B)抛物线的一部分(C)圆(D)椭圆解析:用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.此题中平面α上的动点P满足∠PAB=45°,可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上,再由斜线段AB与平面α所成的角为75°,可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P的轨迹是椭圆.故选D.7.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转到△A1DE,若M,O分别-4-为线段A1C,DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是(C)(A)与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直(B)异面直线BM与A1E所成角是定值(C)一定存在某个位置,使DE⊥MO(D)三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值解析:取DC中点N,连接MN,NB,则MN∥A1D,NB∥DE,所以平面MNB∥平面A1DE,即MB∥平面A1DE,A正确;取A1D的中点为F,连接MF,EF,则平面BEFM是平行四边形,所以∠A1EF为异面直线BM与A1E所成角,故B正确;A关于直线DE的对称点为N,则DE⊥平面A1AN,即过O与DE垂直的直线在平面A1AN上,由于点M∉平面A1AN,故C错误;三棱锥A1-ADE外接球的半径为AD,故D正确.故选C.8.如图,把画有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,φπ)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若A,B两点之间的空间距离为2,则f()等于(C)(A)-2(B)-(C)-1(D)-5-解析:设函数y=f(x)的周期为T=,由f(0)=1有sinφ=,φπ,所以φ=,在折叠后的图象中,AB==2,解出T=8,ω=,所以f(x)=2sin(x+),则f()=2sin(×+)=2sin=-2sin=-1.故选C.二、填空题9.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的比值是.解析:设圆柱的底面半径为r,母线长为l,由题意2πr=l,所以=2π.答案:2π10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是.解析:正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,在运动过程中,保持AP⊥BD1,因为BD1是定线段,要求保持AP⊥BD1,在侧面BCC1B1连接CB1,因为BD1在侧面BCC1B1的射影是BC1,因为几何体是正方体,所以BC1⊥B1C,B1C⊥BD1,同理AC⊥BD1,BD1⊥平面AB1C,点P在B1C上,所以AP⊥BD1,则动点P的轨迹是线段B1C.答案:线段B1C11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角.其中正确结论的序号是.-6-解析:①取BD的中点O,连接OA,OC,所以OA⊥BD,OC⊥BD,所以BD⊥平面OAC,所以AC⊥BD;故①正确;②设正方形的边长为a,则在直角三角形ACO中,可以求得AC=a,所以△ACD是等边三角形;故②正确;③AB与平面BCD成45°角;故③不正确.答案:①②12.沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后,AB与CD所在的直线所成的角等于.解析:如图建立空间直角坐标系,设OA=OB=OC=OD=1,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),所以=(1,1,0),=(0,-1,1),因此|cosθ|===,且θ∈(0°,90°],所以θ=60°.答案:60°13.如图已知每条棱长都为3的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面是菱形,∠BAD=60°,DD1⊥平面ABCD,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN中点P的轨迹与此四棱柱的面所围成的几何体的体积为.解析:取AB的中点E,连接DE,由题意知DE⊥AB,DE⊥CD,-7-以DE所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系.设M(0,0,z),N(x,y,0),则P(,,),MN==2;所以x2+y2+z2=4,所以++=++=1.所以OP2=1,即OP=1.所以点P的轨迹是以原点D为球心,以1为半径的球的一部分,又因为∠BAD=60°,所以∠ADC=120°.所以点P的轨迹是球的,所以几何体的体积为V=××13=.答案:三、解答题14.(2018·宁波5月模拟)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,∠C=60°,点E在线段CD上,满足BE⊥CD,且CE=AB=CD=2,现将△ADE沿AE翻折到AME位置,使得MC=2.-8-(1)证明:AE⊥MB;(2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值.(1)证明:连接BD交AE于点N,所以BE=2×tan60°=2.所以BD==4.因为BE⊥CD,∠C=60°,且CE=CD=2,所以BC=4,CD=8.因为BC2+BD2=CD2,所以BC⊥BD,又BC∥AE,所以AE⊥BD.从而AE⊥BN,AE⊥MN,所以AE⊥平面MNB.所以AE⊥MB.(2)解:由MB⊥平面ABCE,如图建系,A(0,2,0),C(2,-2,0),E(2,0,0),M(0,0,2),则=(0,-2,2),=(2,-2,0),=(2,-2,-2).设平面AME的法向量为m=(x,y,z),由可取m=(,,1),-9-所以sinθ=cosm,==.巩固提高B一、选择题1.边长为a的菱形ABCD中锐角A=θ,现沿对角线BD折成60°的二面角,翻折后|AC|=a,则锐角A是(C)(A)(B)(C)(D)解析:取BD的中点O,连接OC,OA,则∠COA为二面角CBDA的平面角,即∠COA=60°,因为|AC|=a,所以|AO|=a.因为菱形ABCD中AD=a,所以∠ADB=,所以∠A=.故选C.2.如图,动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是(B)解析:设正方体的棱长为1,显然,当P移动到对角线BD1的中点O时,y=MN=AC=取得唯一最大值,所以排除A,C;当P在BO上时,分别过M,N,P作底面的垂线,垂足分别为M1,N1,P1,则-10-y=MN=M1N1=2BP1=2·xcos∠D1BD=x.故选B.3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上移动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围为(A)(A)(0,］(B)(0,］(C)[0,］(D)(0,)解析:因为A1B∥D1C,所以CP与A1B所成角可化为CP与D1C所成角.因为△AD1C是正三角形,可知当P与A重合时所成角为,因为P不能与D1重合,此时D1C与A1B平行而不是异面直线,所以0θ≤,故选A.4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为CD的中点,F为线段CE(端点除外)上一动点,现将△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABC,设直线FD与平面ABCF所成角为θ,则sinθ的最大值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图:在矩形ABCD中,过点D作AF的垂线交AF于点O,交AB于点M,设CF=x(0x1),AM=t-11-由△DAM∽△FDA,得=,即有t=,由0x1,得t1,在翻折后的几何体中,因为AF⊥OD,AF⊥OM,所以AF⊥平面ODM,从而平面ODM⊥平面ABC,又平面ABD⊥平面ABC,则DM⊥平面ABC,连接MF,则∠MFD是直线FD与平面ABCF所成角,即∠MFD=θ,而DM=,DF=2-x=,则sinθ==t=由于t21,则当t2=时,sinθ取到最大值,其最大值为.故选C.5.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,动点P在此正方体的表面上运动,且PA=x(0x),记点P的轨迹的长度为f(x),则函数f(x)的图象可能是(B)-12-解析:P的轨迹为以A为球心,PA为半径的球面与正方体的交线.所以在x∈(0,1]时,轨迹长度直线增加,而x∈(1,]时,轨迹长度由减小到增加,之后逐渐减小.故选B.二、填空题6.将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型,如图2放置.若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3),则四棱锥的体积是cm3.解析:设正四棱锥的底面边长为2x,则其侧棱长为=,根据题意知(2x)2=72-12x+2x2-x2;所以x=2,x=-6(舍去),所以此四棱锥的底边长为4,高为×4=2,所以其体积为V=×(4)2×2=.答案:7.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图,A,B,C,D为其上四个点,以A,B,C,D为顶点的三棱锥的体积为.-13-解析:根据题目图示可知三棱锥的底面积为,高度为1,进而得到三棱锥的体积为V=××1=.答案:8.如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,BC=1,AE=BE=,若M,N分别是线段DE,CE上的动点