2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与简易逻辑 第1讲 集合及其运算教案 理（含解析）新人教A版

1第1讲集合及其运算基础知识整合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性．(2)元素与集合的关系是□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07∉表示．(3)集合的表示法：□08列举法、□09描述法、□10图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号□11N□12N*(或N＋)□13Z□14Q□15R2．集合间的基本关系3．集合的基本运算21．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.1．(2019·镇海中学模拟)设集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝x2－1}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．A∩B＝{x|x≥1}答案D解析∵A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2－1}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A.3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0x2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0x≤1}B．{x|0x1}C．{x|1≤x2}D．{x|0x2}答案B解析∵∁RB＝{x|x1}，∴A∩(∁RB)＝{x|0x1}，故选B.34．(2019·兰州诊断)已知集合A＝{x|x29}，B＝{x|2x1}，则A∪B＝()A．{x|x－3}B．{x|－3x3}C．{x|x0}D．{x|x－3或x0}答案D解析由x29，得x3或x－3，A＝{x|x3或x－3}．又由2x1，解得x0，所以B＝{x|x0}．所以A∪B＝{x|x－3或x0}．故选D.5．(2018·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x20}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于()A．{x|x2}B．{x|1x2}C．{x|x1}D．{x|x0}答案D解析由2x－x20得0x2，故A＝{x|0x2}，由y＝ex＋1得y1，故B＝{y|y1}，所以A∪B＝{x|x0}．故选D.6．(2018·武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋100}，则A－B＝()A．{0,1}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{0,1,2,5}答案D解析因为A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋100}＝{x|2x5}，A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，所以A－B＝{0,1,2,5}．故选D.核心考向突破考向一集合的基本概念例1(1)(2019·辽宁模拟)已知集合A＝{y|y＝x2＋2x＋1}，B＝{x|y＝x2＋2x＋1}，则集合A与集合B的关系为()A．A＝BB．A∈BC．B⊆AD．AB答案D解析集合A表示二次函数y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2中y的取值范围，显然y≥0，即A＝{y|y≥0}；集合B表示函数y＝x2＋2x＋1中x的取值范围，易知x∈R，即B＝R，所以AB.故选D.(2)设集合A＝{x，x2，xy}，B＝{1，x，y}且A＝B，则实数x＝________，y＝________.答案－10解析∵A＝B，∴x2＝1，xy＝y或x2＝y，xy＝1，解得x＝1，y∈R或x＝－1，y＝0或x＝1，y＝1.当x＝1，y∈R时，A＝B＝{1,1，y}，不满足互异性，舍去；当x＝－1，y＝0时，A＝B＝{－1,1,0}，符合题意；当x＝y＝1时，A＝B＝{1,1,1}，不满足互异性，舍去．综上可知x＝－1，y＝0.触类旁通解决集合概念问题的一般思路4(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A是函数值域构成的数集，集合B是函数定义域构成的数集．本例中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解.同时注意对元素互异性的检验.即时训练1.(2018·郑州模拟)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．3C．5D．7答案C解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．故选C.2．设集合A＝5，ba，a－b，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝()A．{2,3}B．{－1,2,5}C．{2,3,5}D．{－1,2,3,5}答案D解析由A∩B＝{2，－1}，可得ba＝2，a－b＝－1或ba＝－1，a－b＝2.当ba＝2，a－b＝－1时，a＝1，b＝2，此时B＝{2,3，－1}，所以A∪B＝{－1,2,3,5}；当ba＝－1，a－b＝2时，a＝1，b＝－1，此时不符合题意，舍去．故选D.考向二集合间的基本关系例2(1)(2019·山东模拟)已知集合A＝xx－2x≤0，x∈N，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．4D．8答案D解析由x－2x≤0得0x≤2，故A＝{1,2}；由x≤2得0≤x≤4，故B＝{0,1,2,3,4}．满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为23＝8.(2)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，3]5解析若B⊆A，则①当B＝∅时，有m＋12m－1，即m2，此时满足B⊆A；②当B≠∅时，有m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．触类旁通解本例时，要能够将集合间的关系进行等价转化，转化为集合C中哪些元素必有，哪些元素可能有，不要忽略任何非空集合是它自身的子集.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.解题时要关注空集的特殊性，本例中，易忽视B＝∅而误解.即时训练3.设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()A．57B．56C．49D．8答案B解析集合S的个数为26－23＝64－8＝56.4．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合C＝________.答案0，13，15解析a＝0时，B＝∅，B⊆A；a≠0时，1a＝3或1a＝5，解得a＝13或a＝15，所以C＝0，13，15.考向三集合的基本运算角度1集合间的交、并、补运算例3(1)(2019·海南模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝xx＋1x－40，那么集合A∩(∁UB)＝()A．{x|－2≤x4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x－1}D．{x|－1≤x≤3}答案D解析依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.(2)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝3－2x}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是()6A.x32x≤3B.x32x3C.x32≤x2D.x32x2答案B解析由3－2x≥0，得x≤32，即M＝xx≤32；由2x0，得3－2x3，即N＝{y|y3}．因此图中阴影部分表示的集合是(∁UM)∩N＝x32x3.触类旁通集合的基本运算问题一般应注意的几点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.即时训练5.设集合U＝R，A＝{x|x＝3k＋1，k∈N*}，B＝{x|x≤5，x∈Q}(Q为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1,3,4,5}B．{2,4,5}C．{2,5}D．{1,2,3,4,5}答案B解析∵集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈N*}，∴A＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}．∵B＝{x|x≤5，x∈Q}，题中Venn图中的阴影部分表示A，B两集合的交集，又A∩B＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.76．(2019·汕头模拟)已知集合P＝{x∈R|2(x－1)(x－3)≤1}，Q＝x∈Ry＝x2－43，则P∪(∁RQ)＝()A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案B解析因为P＝{x∈R|2(x－1)(x－3)≤1}，所以P＝{x∈R|(x－1)(x－3)≤0}，所以P＝{x∈R|1≤x≤3}．因为Q＝x∈Ry＝x2－43，所以Q＝{x∈R|x2≥4}，所以Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，所以P∪(∁RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.角度2利用集合运算求参数例4(1)(2019·广西模拟)设集合A＝{x|x(4－x)≥3}，B＝{x|xa}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a≤3D．a3答案B解析由x(4－x)≥3解得1≤x≤3，即集合A＝{x|1≤x≤3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|xa}，所以a1，故选B.(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－11解析由|x＋2|3，得－3x＋23，即－5x1，所以集合A＝{x|－5x1}．因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，解得m＝－1.此时不等式(x＋1)(x－2)0的解集为－1x2，所以B＝(－1,2)．所以A∩B＝(－1,1)，即n＝1.触类旁通将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式组的解集相关.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解.本例易忽视a≠1，而误选A.即时训练7.(2019·江西南昌模拟)已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[－2,1]D．[2，＋∞)答案C解析集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有a≥－2，a＋1≤2，所以－2≤a≤1，故选C.