搜索
1第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识整合1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，綈p(x)1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．1．(2019·福建模拟)命题“∀x0，xx－10”的否定是()A．∃x00，x0x0－1≤0B．∃x00，x0x0－1≤0C．∀x0，xx－1≤0D．∀x0，xx－1≤0答案B解析易知命题的否定是∃x00，x0x0－1≤0，故选B.22．(2018·河南周口月考)若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋10”是真命题，则实数a的取值范围是()A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋10”等价于“x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－40，即a2－2a－30，解得a－1或a3.3．(2017·山东高考)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧qD．(綈p)∧(綈q)答案B解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×10，∴x2－x＋10恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2(－2)2，但－1－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.4．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是()A．命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|＝5，则x≠5”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R,3x20＋2x0－10”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－10”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题答案D解析A中，命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x0∈R,3x20＋2x0－10”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1≤0”，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选D.5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5答案C解析命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．(2019·广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋10的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－80”是“x5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()3A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∧q答案D解析命题p：a＝0时，可得10恒成立；a≠0时，可得a0，Δ＝a2－4a0，解得0a4，综上，可得实数a∈[0,4)，因此p是假命题，则綈p是真命题；命题q：由x2－2x－80解得x4或x－2.因此“x2－2x－80”是“x5”的必要不充分条件，是真命题，故(綈p)∧q是真命题．故选D.核心考向突破考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1(1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q答案A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.(2)已知命题p：∀x∈N*，12x≥13x；命题q：∃x0∈N*,2x0＋21－x0＝22，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)答案C解析根据幂函数的性质，可知命题p为真命题；由2x0＋21－x0＝22，得22x0－22·2x0＋2＝0，解得2x0＝2，即x0＝12或2x0＋21－x0≥22x0·21－x0＝22，当且仅当2x0＝21－x0，即x0＝12时等号成立，命题q为假命题．所以只有p∧(綈q)为真命题．故选C.触类旁通判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构．判断构成这个命题的每个简单命题的真假.依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可.即时训练1.已知命题p：“若x2－x0，则x1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题为真命题的是()A．p∨(綈q)B．p∨qC．p∧qD．(綈p)∧(綈q)答案B解析若x2－x0，则x1或x0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题，则p∨q是真命题，故选B.2．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4xlog8x，命题q：∃x∈R，使得tanx＝1－3x，则下列命题为真命题的是()4A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．p∧(綈q)D．(綈p)∧q答案D解析对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tanx＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，故选D.考向二全称命题、特称命题角度1全称命题、特称命题的否定例2(1)(2019·贵州联考)已知命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1答案B解析命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1的否定为∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1，故选B.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．触类旁通一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定.即时训练3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方不是奇数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数答案C解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nx25B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得nx20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得nx20答案D解析先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.角度2全称命题、特称命题真假的判断例3以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2答案B解析选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数x，都有1x0，不满足1x2，所以D是假命题．故选B.触类旁通全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．即时训练5.下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋10”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋10”D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题6答案B解析命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“∃x0∈R，x20＋x0＋10”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，D错误．故选B.考向三利用复合命题的真假求参数范围例4(1)命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(0,4]B．[0,4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案D解析因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋10，则a0或a0，Δ＝a2－4a0，解得a0或a4.(2)(2019·金华联考)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋10的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________．答案(1,2]∪[3，＋∞)解析p为真命题，有Δ＝m2－40，－m0，解得m2.q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×10，解得1m3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真q假时，由m2，m≤1或m≥3，得m≥3；当p假q真时，由m≤2，1m3，得1m≤2.综上，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．触类旁通根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围.(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．即时训练6.已知命题p：关于x的不等式ax1(a0，a≠1)的解集是{x|x0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解由关于x的不等式ax1(a0，a≠1)的解集是{x|x0}，知0a1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a0的解集为R，7则a0，Δ＝1－4a20，解得a12.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真