2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数教案

1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识整合1．角的概念(1)分类按旋转方向不同分为□01正角、□02负角、□03零角.按终边位置不同分为□04象限角和□05轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于□06半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝□072π弧度；180°＝□08π弧度；②弧长公式：l＝□09|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝□1012lr＝□1112|α|r2.说明：②③公式中的α必须为弧度制！3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝□12y，cosα＝□13x，tanα＝□14yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的□15正弦线，□16余弦线和□17正切线．1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)2设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P35，－45，则sinα－cosα的值是()A．－75B．－15C.15D.75答案A解析由题意知sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα－cosα＝－45－35＝－75.故选A.2．若sinθcosθ0，则角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角答案D解析因为sinθcosθ0，所以sinθ0，cosθ0或sinθ0，cosθ0.所以角θ是第二或第四象限角．故选D.3．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D.10π9答案D解析单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义得10π9＝lr，所以l＝10π9.4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．－43答案D3解析∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知xx2＋42＝15x，解得x＝－3.∴tanα＝4x＝－43.5．(2019·潍坊模拟)集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．6．(2019·三明模拟)若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．答案－43解析由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a＝－43.核心考向突破考向一角的概念及表示例1(1)设集合M＝，N4＝，判断两集合的关系()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝∅答案B解析解法一：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.解法二：在集合M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.(2)设角α是第二象限的角，且cosα2＝－cosα2，则α2是第________象限角．答案三解析因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．又因为cosα2＝－cosα2，所以cosα20.故α2是第三象限角．触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．即时训练1.(2019·绵阳质检)点A(sin2019°，cos2019°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析sin2019°＝sin219°＝－sin39°＜0，cos2019°＝cos219°＝－cos39°＜0.5选C.2．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有()A．α＋β＝π2B．α＋β＝2k＋12π，k∈ZC．α＋β＝2kπ，k∈ZD．α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z答案D解析如图所示，设0α′π，0β′π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z.考向二三角函数的定义及其应用角度1，即弧度数变为原来的3倍．