2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示教案 理（含解析）

1第2讲平面向量的基本定理及坐标表示基础知识整合1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个□01不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝□02λ1e1＋λ2e2.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与□03x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，□04(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝□05(1,0)，j＝□06(0,1)，0＝□07(0,0)．3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝□08(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝□09(x1－x2，y1－y2)，λa＝□10(λx1，λy1)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝□11(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝□12－＋－.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔□13x1y2－x2y1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．1．(2019·郑州模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是()A．0B．±2C．2D．－2答案D解析由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.2．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)2B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34答案B解析两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.3．在△ABC中，已知A(2,1)，B(0,2)，BC→＝(1，－2)，则向量AC→＝()A．(0,0)B．(2,2)C．(－1，－1)D．(－3，－3)答案C解析因为A(2,1)，B(0,2)，所以AB→＝(－2,1)．又因为BC→＝(1，－2)，所以AC→＝AB→＋BC→＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C.4．(2019·德州模拟)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2答案B解析由题意可取e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，设a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，即x－y＝－3，y＝1，解得x＝－2，y＝1，故a＝－2e1＋e2.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．答案12解析因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．答案－54解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，据题意知AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a3＝－5，∴a＝－54.核心考向突破考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2019·四川模拟)已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则下列结论正确的是()A.OA→＝13AB→＋23BC→B.OA→＝23AB→＋13BC→C.OA→＝13AB→－23BC→D.OA→＝－23AB→－13BC→答案D解析∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA→＝－23×12(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋AB→＋BC→)＝－13(2AB→＋BC→)＝－23AB→－13BC→.故选D.(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0答案D解析解法一：由已知有AC→＋CO→＝xAB→＋AC→－xAC→，则CO→＝x(AB→－AC→)＝xCB→＝－3xCD→，因为0－3x1，所以x∈－13，0.解法二：设CO→＝yBC→，因为AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→.因为BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈0，13.因为AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，所以x＝－y，所以x∈－13，0.故选D.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.4即时训练1.(2019·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点，且MB→＋32MA→＋32MC→＝0，D是AC的中点，则|MD→||BM→|的值为()A.13B.12C．1D．2答案A解析∵D是AC的中点，∴DA→＋DC→＝0.又∵MB→＋32MA→＋32MC→＝0，∴MB→＝－32(MA→＋MC→)＝－32(DA→－DM→＋DC→－DM→)，即MB→＝3DM→，故MD→＝13BM→，∴|MD→||BM→|＝13.故选A.2．(2018·郑州质检)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP→＝m＋211AB→＋211BC→，则实数m的值为()A.1B.12C.911D.511答案D解析设BP→＝λBN→＝λ(AN→－AB→)＝λ13AC→－AB→＝－λAB→＋λ3AC→(0≤λ≤1)，∴AP→＝AB→＋BP→＝(1－λ)AB→＋λ3AC→.又AP→＝m＋211AB→＋211BC→＝m＋211AB→＋211(AC→－AB→)＝mAB→＋211AC→，∴λ3＝211，m＝1－λ，解得λ＝611，m＝511，∴m＝511.故选D.考向二平面向量的坐标表示5例2(1)(2019·河南洛阳统考)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ的值为()A.85B.58C．1D．－1答案A解析如图建立直角坐标系，不妨令正方形ABCD的边长为2，则AC→＝(2,2)，AM→＝(2,1)，BN→＝(－1,2)．由AC→＝λAM→＋μBN→，得2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.故选A.(2)(2019·河北武邑模拟)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．233B．33C．3D．23答案A6解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0).AD→＝(m，3m)＝λAB→＋μAC→＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)⇒λ＝m，μ＝32m，则λμ＝233.故选A.触类旁通平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程组来进行求解，并注意方程思想的应用.即时训练3.(2019·天津和平区模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→＝λCE→＋μDB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.65B.85C．2D.83答案B7解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE→＝(－2,1)，DB→＝(1,2)，∵CA→＝λCE→＋μDB→，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝AO→＝(－1,1)，b＝OB→＝(6,2)，c＝BC→＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.考向三平面向量共线的坐标表示8例3(1)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝12C．k＝1D．k＝－1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB→，AC→共线，∵AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故选C.(2)(2019·福建福州质检)设向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a0，b0，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值为()A．4B．6C．8D．9答案C解析∵OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，∴AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λAC→，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，∴a－1＝－b－，1＝2λ，可得2a＋b＝1，∵a0，b0，∴1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝2＋2＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab，即a＝14，b＝12时取等号，故1a＋2b的最小值为8.故选C.触类旁通利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便.即时训练5.(2018·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3→与向量a＝(1，－1)共线，若OP3→＝λOP1→＋(1－λ)·OP2→，则λ＝()9A．－3B．3C．1D．－1答案D解析设OP3→＝(x，y)，则由OP3→∥a知x＋y＝0，于是OP3→＝(x，－x)．若OP3→＝λOP1→＋(1－λ)OP2→，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即4λ－1＝x，3－2λ＝－x，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D.6．已知平面内的三点A，B，O不共线，且AP→＝λOA→＋μOB→，则A，P，B三点共线的一