2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质教案 理（含解析

1第3讲三角函数的图象与性质基础知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质21．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．1．函数y＝tanπ4－x的定义域是()3答案D解析y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D.2．(2019·长沙模拟)函数y＝sin12x＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是()A.－2π，－5π3B.－2π，－5π3和π3，2πC.－5π3，π3D.π3，2π答案C解析令z＝12x＋π3，函数y＝sinz的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，由2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3(k∈Z)，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是－5π3，π3.故选C.3．(2019·衡水中学调研)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()4A．－1B．－22C.22D．0答案B解析由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.4．(2019·柳州摸底)设函数f(x)＝sin2x－π6，则下列结论错误的是()A．f(x)的周期为πB．f(x)的图象关于点π12，0对称C．f(x)在0，π2上是增函数D．f(x)的图象关于直线x＝－π6对称答案C解析T＝2π2＝π，A正确；x＝π12时，2x－π6＝0，fπ12＝sin0＝0，B正确；由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)，∴f(x)在0，π3上是增函数，在π3，π2上单调递减，C错误；x＝－π6时，2x－π6＝－π2，∴f－π6＝－1，D正确．故选C.5．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.答案53π4＋2kπ(k∈Z)解析函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．核心考向突破考向一三角函数的定义域例1(1)(2019·烟台模拟)函数y＝cosx－32的定义域为()5A.－π6，π6B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R答案C解析∵cosx－32≥0，得cosx≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.(2)(2019·江苏模拟)函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为________．答案－3，－π2∪0，π2解析由sin2x＞0，9－x2≥0，得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.触类旁通求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式或等式求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.即时训练1.函数y＝2sinx－1的定义域为()A.π6，5π6B.2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)C.2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)D.kπ＋π6，kπ＋5π6(k∈Z)答案B6解析由2sinx－1≥0，得sinx≥12，所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．2．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是________．答案xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z解析要使函数有意义，必须使sinx－cosx0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，在π4，5π4内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，只须π4x5π4(在[0,2π]内)．所以定义域为xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.解法三：sinx－cosx＝2sinx－π40，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπx－π4π＋2kπ，解得2kπ＋π4x5π4＋2kπ，k∈Z.7所以定义域为xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.考向二三角函数的值域例2(1)(2019·青海模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋π4，求函数f(x)在区间－π2，0上的值域是________．答案[－1，2]解析因为－π2≤x≤0，所以－3π4≤2x＋π4≤π4，所以当2x＋π4＝－3π4，即x＝－π2时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当2x＋π4＝0，即x＝－π8时，f(x)有最大值，f(x)max＝2，即f(x)在－π2，0上的值域为[－1，2]．(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________．答案2解析令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，∴t＝2sinx－π4，t∈[－1，2]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22.∴原函数变为y＝t＋1－t22，t∈[－1，2]．即y＝－12t2＋t＋12.∴当t＝1时，ymax＝－12＋1＋12＝1；当t＝－1时，ymin＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2.触类旁通求解三角函数的值域最值，首先把三角函数化为y＝Aωx＋φ＋k的形式，再求最值值域，或用换元法令t＝sinx，或t＝sinx±cosx化为关于t的二次函数求值域最值解题时要注意所换元的取值范围.8即时训练3.(2018·银川模拟)函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．答案2－3解析∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴－32≤sinπ6x－π3≤1，故－3≤2sinπ6x－π3≤2.即函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－3.所以最大值与最小值的和为2－3.4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．答案1解析f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.考向三三角函数的性质角度1.