2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换教案 理（含解析）

1第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式21．降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89答案B解析cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79.故选B.2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－429B．－229C.229D.429答案A解析∵sin(π－α)＝13，即sinα＝13，又π2≤α≤π，∴cosα＝－1－sin2α＝－223，∴sin2α＝2sinαcosα＝－429.3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45答案D3解析解法一：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.故选D.解法二：由tanθ＝－13，可得sinθ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin2θ＝45.4．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝()A．－43B.34C．－34D.43答案D解析由题意知，tanα＝－2，tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.故选D.5．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2答案B解析f(x)＝1＋3·sinxcosxcosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，∴当x＝π3时，f(x)取得最大值2.6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.答案31010解析cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22(cosα＋sinα)．又由α∈0，π2，tanα＝2，知sinα＝255，cosα＝55，∴cosα－π4＝22×55＋255＝31010.核心考向突破考向一三角函数的化简例1(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()4A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案B解析根据题意，有f(x)＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π答案C解析由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15答案A解析∵f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π65＝15sinx＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋sinπ2－π6－x＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3，∴当x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.故选A.2．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－32的最小正周期是()A．2πB．πC.π2D.π4答案B解析∵y＝12sin2x＋3·1＋cos2x2－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，∴此函数的最小正周期是T＝2π2＝π.考向二三角函数的求值角度1.