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1第1讲随机抽样基础知识整合1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中□01逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会□02都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：□03抽签法和□04随机数法．(3)抽签法与随机数法的区别与联系抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体□05编号．(2)确定□06分段间隔k，对编号进行□07分段，当Nn是整数时，取k＝Nn.(3)在第1段用□08简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号□09(l＋k)，再加k得到第3个个体编号□10(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成□11互不交叉的层，然后按照一定的□12比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由□13差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差Nn的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()2A．p1＝p2p3B．p2＝p3p1C．p1＝p3p2D．p1＝p2＝p3答案D解析随机抽样包括：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率都相等．故选D.2．(2019·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()A．15B．18C．21D．22答案C解析系统抽样的抽取间隔为244＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.3．(2019·兰州检测)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本的老年职工抽取人数为()A．9B．18C．27D．36答案B解析设老年职工人数为x，中年职工人数为2x，所以160＋x＋2x＝430，解得x＝90.由题意，老年职工抽取人数为90×32160＝18，故选B.4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地按1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为125，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．答案5解析设第1组抽取的号码为x，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋x，于是有8×(16－1)＋x＝125，解得x＝5，故第1组抽取的号码为5.5．(2019·西安模拟)从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表中所示：3则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．答案60解析设该地区生活不能自理的老人中男性比女性多x人，由表得23－21500＝x15000，解得x＝60.核心考向突破考向一简单随机抽样例1(1)“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是()A．系统抽样法B．抽签法C．随机数法D．其他抽样方法答案B解析30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．故选B.(2)(2019·江西名校模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A．08B．07C．02D．01答案D解析选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.触类旁通简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.简单随机抽样常有抽签法适用于总体中个体数较少的情况、随机数法适用于个体数较多的情况即时训练1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()A．180B．400C．450D．2000答案C解析90x＝20100，∴x＝450.故选C.2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01,02，…，33的33个数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6个数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号4码为()A．23B．09C．02D．17答案C解析从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的号码依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.考向二分层抽样例2(1)(2019·临川模拟)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为()A．10,14,16B．9,13,18C．8,14,18D．9,14,17答案A解析抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为2525＋35＋40×40＝10，3525＋35＋40×40＝14，4025＋35＋40×40＝16.故选A.(2)某咖啡连锁店为了了解各地连锁店的销售情况，把36个连锁店按地区分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组中连锁店的个数分别为4和12，若用分层抽样法从这36个连锁店中抽取9个进行调查，则丙组中应抽取的连锁店的个数为________．答案5解析丙组中应抽取的连锁店的个数为936×(36－4－12)＝5.触类旁通分层抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层．计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量.在每一层进行抽样可用简单随机抽样或系统抽样即时训练3.某市电视台为调查节目收视率，从全市3个区用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果从人口最多的一个区抽出60人，那么这个样本的容量等于()A．96B．120C．180D．240答案B解析因为3个区人口数之比为2∶3∶5，所以第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为从此区抽出60人，所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%＝120，即这个样本的容量等于120.故选B.54．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18解析∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．考向三系统抽样例3(1)(2019·石家庄二中模拟)某校为了解1000名高一新生的身体发育状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A．16B．17C．18D．19答案C解析系统抽样的分段间隔为100040＝25，设第一组随机抽取的号码为x，则抽取的第18组的号码为x＋17×25＝443，所以x＝18.故选C.(2)(2019·山东模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10D．15答案C解析抽样间隔为30，所以第k组被抽中的号码为9＋30(k－1)．令451≤9＋30(k－1)≤750,151115≤k≤25710，k∈N*，∴做B卷的人数为10人．触类旁通系统抽样的特点及抽样技巧(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.即时训练5.某高中三个年级共有48个班，学校为了了解学生阅读课外书籍的情况，将每个班编号，依次为1到48，现用系统抽样的方法，抽取4个班进行调查．若抽到的4个编号之和为96，则抽到的最大编号为()A．44B．42C．40D．30答案B解析系统抽样的分段间隔为484＝12.设抽到的最大编号为x，则x＋(x－12)＋(x－24)6＋(x－36)＝96，解得x＝42.故选B.6．将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9答案B解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令3003＋12(k－1)≤495，得1034k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.