2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式的解法教案 理（含解析）新人教A版

1第2讲一元二次不等式的解法基础知识整合1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数□01大于零的不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)．(2)计算相应的□02判别式．(3)当□03Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的□04交点确定一元二次不等式的解集．2．三个二次之间的关系1．ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R).21．(2019·成都模拟)不等式2x2－x－30的解集为()A．{x－1x32B．{xx32或x－1C．{x－32x1D．{xx1或x－32答案B解析2x2－x－30⇒(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1.∴不等式2x2－x－30的解集为{xx32或x－1，故选B.2．不等式x－43－2x0的解集是()A．{x|}x4B．{x|3x4}C．{xx32或x4D．{x32x4答案C解析不等式x－43－2x0等价于x－32(x－4)0，所以不等式的解集是{xx32或x4.3．(2019·安徽淮北模拟)若(x－1)(x－2)2，则函数y＝(x＋1)(x－3)的值域是()A．(0,3)B．[－4，－3)C．[－4,0)D．(－3,4]答案C解析由(x－1)(x－2)2解得0x3.因为函数y＝(x＋1)(x－3)图象的对称轴是x＝1，故函数y＝(x＋1)·(x－3)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，在x＝1处取得最小值为－4，在x＝3处取值为0，所以函数值域为[－4,0)．故选C.4．(2019·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)答案A解析不等式x2－4x－2－a0在区间(1,4)内有解等价于a(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)g(4)＝－2，∴a－2.故选A.5．若关于x的不等式ax2＋2x＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案12，＋∞解析当a＝0时，原不等式可化为2x＋20，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需a0，Δ＝22－4×2a0，解得a12.综上，所求实数a的取值范围是12，＋∞.36．(2019·海南模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．答案(－7,3)解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)．核心考向突破考向一一元二次不等式的解法例1解下列关于x的不等式：(1)0x2－x－2≤4；(2)ax2－(a＋1)x＋10.解(1)原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4⇔x2－x－20，x2－x－6≤0⇔－＋，－＋⇔x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)0.①当a＝0时，其解为x1；②当0a1时，其解为1x1a；③当a1时，其解为1ax1；④当a＝1时，无解；⑤当a0时，不等式化为x－1a(x－1)0，其解为x1a或x1.综上所述a＝0时，不等式解集为{x|x1}；0a1时，不等式解集为x1x1a；a1时，不等式解集为x|1ax1；a0时，不等式解集为xx1a或x1；4当a＝1时，不等式解集为∅.触类旁通解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.即时训练1.解不等式：(1)2x＋1x－5≥－1；(2)x2－(a2＋a)x＋a30.解(1)将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于－－，x－5≠0，所以原不等式的解集为xx≤43或x5.(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)0，①当a2－a0，即a1或a0时，原不等式的解为xa2或xa.②当a2－a0，即0a1时，原不等式的解为xa2或xa；③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解为x≠a.综上①②③得a1或a0时不等式解集为{x|xa2或xa}；当0a1时，不等式解集为{x|xa2或xa}；当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}．考向二三个二次的关系例2(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c0的解集为()A．－43，1B．(－∞，1)∪43，＋∞C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析由不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－4,1)，知a0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．5∴－4＋1＝－ba，且－4×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a0，即3x2＋x－40，解得－43x1.故选A.(2)若关于x的不等式axb的解集为－∞，15，则关于x的不等式ax2＋bx－45a0的解集为________．答案－1，45解析由axb的解集为－∞，15，可知a0，且ba＝15.将不等式ax2＋bx－45a0两边同时除以a，得x2＋bax－450，所以x2＋15x－450，即5x2＋x－40，解得－1x45，故不等式ax2＋bx－45a0的解集为－1，45.触类旁通已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.即时训练2.(2019·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152答案A解析由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝52.故选A.3．若x2＋px＋q0的解集为{x－12x13，则不等式qx2＋px＋10的解集为________．答案{x|－2x3}解析∵x2＋px＋q0的解集为{x－12x13，∴－12，13是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系，得13－12＝－p，13×－12＝q，∴p＝16，q＝－16.6∴不等式qx2＋px＋10，可化为－16x2＋16x＋10，即x2－x－60，∴－2x3.∴不等式qx2＋px＋10的解集为{x|－2x3}．考向三一元二次不等式恒成立问题角度1.