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1第2讲数系的扩充与复数的引入基础知识整合1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的□01实部和□02虚部．若□03b＝0，则a＋bi为实数，若□04b≠0，则a＋bi为虚数，若□05a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等a＋bi＝c＋di⇔□06a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作□07|z|或□08|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝□09a2＋b2(r≥0，r∈R)．2．复数的几何意义3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝□10(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝□11(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝□12(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．21．已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为()A．－32B.32C．－23D.23答案A解析(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i为纯虚数，故3＋2a＝0，2－3a≠0，得a＝－32.2．(2019·开封模拟)已知复数z＝2－1＋i，则()A．z的模为2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i答案C解析根据题意可知，2－1＋i＝21－i2＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为2，z的共轭复数为－1＋i，故选C.3．若a为正实数，i为虚数单位，a＋ii＝2，则a＝()A．2B.3C.2D．1答案B解析解法一：由已知a＋ii＝2，得a＋ii＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2，∴1＋a2＝2.∵a0，∴a＝3.解法二：∵a＋ii＝|a＋i||i|＝|a＋i|＝a2＋1＝2，∴a＝3.4．(2019·湖北重点中学联考)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(4，＋∞)C．(－1,4)D．(－4，－1)答案C解析复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋20，且a－40，解得－1a4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C.5．(2018·上海高考)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________.答案5解析由已知得z＝1－7i1＋i＝1－7i1－i1＋i1－i＝－3－4i，所以|z|＝5.6．设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．3答案8解析∵a＋bi＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i5＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，∴a＋b＝8.核心考向突破考向一复数的有关概念例1(1)(2018·浙江高考)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案B解析∵21－i＝21＋i2＝1＋i，∴其共轭复数为1－i，选B.(2)已知i是虚数单位，复数z＝1a－i(a∈R)在复平面内对应的点位于直线x－2y＝0上，则复数z的虚部为()A．2B．3C.15iD.15答案D解析z＝1a－i＝a＋ia2＋1＝aa2＋1＋1a2＋1i，其对应的点为aa2＋1，1a2＋1，又该点位于直线x－2y＝0上，所以a＝2，所以z＝25＋15i，其虚部为15.触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．即时训练1.(2019·福州调研)已知m∈R，i为虚数单位，若1－2im－i0，则m＝()A．1B.12C.13D．－2答案B解析由已知得1－2im－i＝1－2im＋im－im＋i＝m＋21－2mim2＋1，由1－2im－i0，可得1－2m＝0，则m＝12.选B.2．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．4答案2解析因为i·z＝1＋2i，则z＝1＋2ii＝2－i，则z的实部为2.考向二复数的几何意义例2(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋12i的共轭复数为12－12i，对应的点为12，－12，在第四象限，故选D.(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．答案1解析由条件得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，由OC→＝λOA→＋μOB→，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．即时训练3.(2019·襄阳调研)设复数z＝lg(m2－1)＋1－mi，则z在复平面内对应的点()A．一定不在第一、二象限B．一定不在第二、三象限C．一定不在第三、四象限D．一定不在第二、三、四象限答案C解析∵m2－10，1－m≥0，∴m－1，此时lg(m2－1)可正、可负，1－m2，故选C.4．(2019·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D5解析∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒x－1＝0，x＋y＝0⇒x＝1，y＝－1，∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D.考向三复数的代数运算角度1解得a1.故选A.