2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和教案 理（含解析）新人教A版

1第2讲等差数列及其前n项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从□01第2项起，每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为□03an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是□04A＝a＋b2，其中A叫做a，b的□05等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝□06a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝□07na1＋－2d＝□08＋2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d,则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．(9)由公式Sn＝na1＋－2得Snn＝a1＋n－12d＝d2n＋a1－d2，因此数列Snn是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＝12，公差d＝2，则a9＝()A．14B．15C．16D．17答案D2解析a3＋a4＝12⇒2a1＋5d＝12，d＝2⇒a1＝1，∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×3×2＋3×22·d＝2×2＋d＋4×2＋4×32·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1B．0C．1D．3答案B解析根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{an}中，S5＝25，a2＝3，则a7＝()A．13B．12C．15D．14答案A解析∵S5＝＋2＝5a3＝25，∴a3＝5，又a2＝3，∴d＝a3－a2＝2，∴a7＝a3＋4d＝5＋8＝13.故选A.5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3＋a4＋a8＝25，则S9＝()A．60B．75C．90D．105答案B解析由等差数列的性质知a3＋a4＋a8＝3a5＝25.∴a5＝253，∴S9＝＋2＝9a5＝75.故选B.6．(2019·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A．6B．7C．8D．9答案C解析∵|a6|＝|a11|且公差d0，∴a6＝－a11，∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a80，a90，3∴a1a2…a80a9a10…∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.核心考向突破考向一等差数列的基本运算例1(1)(2019·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4S3B．S4＝S3C．S4S1D．S4＝S1答案B解析设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得a1＋d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－9，d＝3.于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S4＝S3，S4S1.故选B.(2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，公差d≠0，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，且a5＝10，则{an}的前5项和S5＝()A．40B．35C．30D．25答案C解析因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4⇒lga22＝lga1a4⇒a22＝a1a4⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，又a5＝a1＋4d＝10，所以a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋5×42d＝30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________.答案14解析设数列{an}的公差为d，则a6＋a7＝2a3＋7d＝14，又∵a3＝0，∴d＝2，∴a4＝a3＋d＝2.∴S7＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()4A．1B．2C．4D．8答案C解析设{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得＋＋＋＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.故选C.2．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案20解析设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a22＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且1an－1是等差数列，则a10＝________.答案73解析设等差数列1an－1的公差为d，则1a3－1＝16，1a7－1＝12.∵1an－1是等差数列，∴1a7－1＝1a3－1＋4d，即12＝16＋4d，解得d＝112，故1a10－1＝1a3－1＋7d＝16＋7×112＝34，解得a10＝73.考向二等差数列的性质角度1＝19a100，∴使Sn0的n的最大值为19.故选B.