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1第5讲椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做□01椭圆．这两定点叫做椭圆的□02焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若□04ac，则集合P表示椭圆；(2)若□05a＝c，则集合P表示线段；(3)若□06ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表2椭圆的常用性质(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e＝1－b2a2.31．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.2．(2018·广西模拟)若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝ca＝22，故选C.3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于13，则椭圆C的方程是()A.x24＋y23＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x29＋y28＝1答案D解析依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，所以c＝1，ca＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为x29＋y28＝1.4．(2019·西安模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是()A.1633B．12C．16(2＋3)D．16(2－3)答案B4解析∵椭圆的方程为x225＋y216＝1，∴a＝5，b＝4，c＝25－16＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝12×2×3×4＝12，故选B.5．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，2)，则k＝________.答案1解析方程3x2＋ky2＝3可化为x2＋y23k＝1.a2＝3k1＝b2，c2＝a2－b2＝3k－1＝2，解得k＝1.6．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．答案33解析设|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝3x.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3x,2c＝3x，∴C的离心率为e＝ca＝33.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例1(1)(2018·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A.514B.513C.49D.59答案B解析由题意知a＝3，b＝5，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝b2a＝53.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝133，∴|PF2||PF1|＝53×313＝513.故选B.(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16.则|AF2|＝________.答案5解析由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.5触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.即时训练1.(2019·甘肃联考)设A，B是椭圆C：x212＋y22＝1的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2＋y2＝10的一个交点，则||PA|－|PB||＝()A．22B．43C．42D．62答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝2a＝43，|PA|2＋|PB|2＝(2c)2＝40，∴(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|，解得2|PA||PB|＝8，∴(|PA|－|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|＝32，则||PA|－|PB||＝42，故选C.2．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.答案12解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.考向二椭圆的标准方程例2(1)(2019·杭州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又ca＝c3＝33，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为x23＋y22＝1.选A.(2)已知A－12，0，B是圆：x－122＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．6答案x2＋43y2＝1解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF||AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝12，b2＝34.所以动点P的轨迹方程为x2＋43y2＝1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝m0，n0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练3.(2019·青岛模拟)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案C解析如图，|AF2|＝12|AB|＝32，7|F1F2|＝2，由椭圆定义，得|AF1|＝2a－32.①在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝322＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1，应选C.4．设F1，F2为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案x29＋y26＝1解析l经过F1垂直于x轴，得yA＝b2a，在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，得b2a＝33×2c，12×2c×2b2a＝43，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所求的椭圆方程为x29＋y26＝1.考向三椭圆的几何性质8例3(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C解析根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝22，所以椭圆C的离心率为e＝222＝22.故选C.(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．答案0，12解析∵c2－b2＋ac0，∴c2－(a2－c2)＋ac0，即2c2－a2＋ac0，∴2c2a2－1＋ca0，即2e2＋e－10，解得－1e12.又∵0e1，∴0e12.∴椭圆的离心率e的取值范围是0，12.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1答案D解析在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝3m，又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)m，则离心率e＝ca＝2c2a＝2m3＋1m＝3－1.故选D.6．(2019·江苏模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．9答案5－12解析由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∵AB⊥BF，∴AB→·BF→＝0，∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，∴e－1＋e2＝0，解得e＝5－12.考向四直线与椭圆的位置关系角度1取得最大值4.