2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线教案 理（含解析）新人教A版

1第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离□01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．其数学表达式：□03|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质2抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.1．抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－18B．y＝－14C．y＝－12D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝12y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－18，故选A.2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝()A.194B.92C．3D．4答案D解析抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n＋1，解得n＝4.故选D.3．已知抛物线C：y＝x28的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0＝()A．2B．±2C．4D．±4答案D解析由y＝x28，得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D.4．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()3A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x答案C解析∵抛物线y2＝2px，∴准线方程为x＝－p2.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4.∴－p2－2＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.5．(2019·广东中山统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案B解析由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B.6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2B．22C．23D．4答案C解析利用|PF|＝xP＋2＝42，可得xP＝32，∴yP＝±26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23.故选C.核心考向突破考向一抛物线的定义角度1到焦点与到定点距离之和最小问题例1(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0)B.12，1C．(1，2)D．(2,2)答案D解析过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．角度2到点与准线的距离之和最小问题例2(2019·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．答案5解析依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|4＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.角度3到定直线的距离最小问题例3已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B．2C.115D．3答案B解析由题意可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)即时训练1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)答案B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A，C，D，故选B.52．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.3B.5C．2D.5－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|2212＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4(1)(2019·运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A．x2＝32yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y答案D解析设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由x2＝ay，y＝2x－2消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以x1＋x22＝2a2＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.(2)抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案6解析抛物线的准线方程为y＝－p2，设A，B的横坐标分别为xA，xB，则|xA|2＝|xB|2＝3＋p24，所以|AB|＝|2xA|.又焦点到准线的距离为p，由等边三角形的特点，得p＝32|AB|，即p2＝34×4×3＋p24，所以p＝6.6触类旁通求抛物线的标准方程应注意的几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．2.3参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.即时训练3.(2019·上海模拟)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为()A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝152x答案B解析设M(x，y)，∵|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，∴|MF|＝2p，由抛物线的定义知x＋p2＝2p，∴x＝32p，∴y＝±3p，又△MFO的面积为43，∴12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y2＝8x.4．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．答案x2＝3y解析设直线l的方程为y＝3x＋b，联立y＝3x＋b，x2＝2py，消去y，得x2＝2p(3x＋b)．即x2－23px－2pb＝0，∴x1＋x2＝23p＝3.∴p＝32，∴抛物线的方程为x2＝3y.考向三抛物线的性质例5(1)已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．x＝－2答案C解析抛物线y2＝2px(p0)的焦点为p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－x－p2，代入抛物线方程，整理得x2－3px＋p24＝0，由AB中点的横坐标为3，得3p＝6，解得p＝2，故抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案(1,0)解析如图，由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2＝4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由抛物线方程可得，2p＝4，p＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．7触类旁通1.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.即时训练5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析不妨设C：y2＝2px(p0)，A(x1,22)，则x1＝2222p＝4p，由题意可知|OA|＝|OD|，得4p2＋8＝p22＋5，解得p＝4.故选B.6．在平面直角坐标系xOy中有一定点A(4,2)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案x＝－52解析OA的中点的坐标为(2,1)，斜率kOA＝12，OA的垂直平分线的方程为y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5.又∵抛物线y2＝2px(p0)的焦点在x轴上，即y＝0.由y＝0，y＝－2x＋5，得抛物线的焦点F的坐标为52，0，∴52＝p2，∴抛物线的准线方程为x＝－52.考向四直线与抛物线的位置关系例6(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.8解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由y＝kx－2y2＝2x，得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2x1＋2x2＋2.①将x1＝y1k＋2，x2＝y2k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4ky1＋y2k＝－8＋8k＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p焦点在x轴正半轴，若不过焦点，则必须用弦长公式.即时训练7.如图，AB为抛物线x2＝2py(p0)的弦，且以AB为直径的圆恒过原点O(A，B均不与O重合)